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三角函数的有理式

## 三角函数的有理式

> 此方法要求学生必须非常熟悉三角函数公式变形，详见 [三角函数公式表](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1282)

`例`求不定积分 $\int \frac{1}{3 \sin x+4 \cos x} \mathrm{~d} x$.
解 令 $u=\tan \frac{x}{2}(-\pi<x<\pi)$, 则 $\sin x=\frac{2 u}{1+u^2}, \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}, d x=\frac{2 d u}{1+u^2}$ ，

$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\int \frac{\frac{2}{1+t^2} \mathrm{~d} t}{3 \frac{2 t}{1+t^2}+4 \frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2 \mathrm{~d} t}{4+6 t-4 t^2} \\
& =\int \frac{\mathrm{d} t}{(2 t+1)(2-t)}=\frac{1}{5} \int\left(\frac{2}{2 t+1}+\frac{1}{2-t}\right) \mathrm{d} t \\
& =\frac{1}{5} \ln \left|\frac{2 t+1}{2-t}\right|+C=\frac{1}{5} \ln \left|\frac{2 \tan \frac{x}{2}+1}{2-\tan \frac{x}{2}}\right|+C .
\end{aligned}
$$

这里所用的变量代换 $u=\tan \frac{x}{2}$ 对三角函数的有理式都可以应用, 此也称它为万能置换.

`例` 求不定积分 $\int \frac{1}{\sin ^4 x} \mathrm{~d} x$.
解一 利用万能置换公式

$$
\begin{aligned}
\sin x & =\frac{2 u}{1+u^2}, \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}, \mathrm{~d} x=\frac{2}{1+u^2} \mathrm{~d} u, \\
\text { 原式 } & =\int \frac{1+3 u^2+3 u^4+u^6}{8 u^4} \mathrm{~d} u=\frac{1}{8}\left[-\frac{1}{3 u^3}-\frac{3}{u}+3 u+\frac{u^3}{3}\right]+C \\
& =-\frac{1}{24\left(\tan \frac{x}{2}\right)^3}-\frac{3}{8 \tan \frac{x}{2}}+\frac{3}{8} \tan \frac{x}{2}+\frac{1}{24}\left(\tan \frac{x}{2}\right)^3+C .
\end{aligned}
$$

解二 修改万能置换公式, 令 $u=\tan x$

$$
\begin{aligned}
\sin x & =\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}, \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}, \mathrm{~d} x=\frac{1}{1+u^2} \mathrm{~d} u, \\
\text { 原式 } & =\int \frac{1}{\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\right)} \cdot \frac{1}{1+u^2} \mathrm{~d} u=\int \frac{1+u^2}{u^4} \mathrm{~d} u=-\frac{1}{3 u^3}-\frac{1}{u}+C \\
& =-\frac{1}{3} \cot ^3 x-\cot x+C .
\end{aligned}
$$

解三 不用万能置换公式

$$
\text { 原式 }=\int \csc ^2 x\left(1+\cot ^2 x\right) \mathrm{d} x=\int \csc ^2 x \mathrm{~d} x+\int \cot ^2 x \csc ^2 x \mathrm{~d} x=-\frac{1}{3} \cot ^3 x-\cot x+C \text {. }
$$

比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角函数有理式的 计算中先考虑其他手段，不得已才用万能置换.

考虑下列形式的简单无理根式的不定积分

$$
\int f\left(x, \sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}\right) \mathrm{d} x,
$$

令 $\sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}=t$, 这样上述形式的简单无理根式的不定积分可化为有理函 数的不定积分.

`例` 求 $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{x}} \mathrm{~d} x$.
解 令 $\sqrt{\frac{1+x}{x}}=t$, 则 $t^2=\frac{1+x}{x}$, 则 $x=\frac{1}{t^2-1}, \mathrm{~d} x=-\frac{2 t \mathrm{~d} t}{\left(t^2-1\right)^2}$.

$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{x}} \mathrm{~d} x & =\int\left(t^2-1\right) t \cdot \frac{-2 t}{\left(t^2-1\right)^2} \mathrm{~d} t=-2 \int \frac{t^2}{t^2-1} \mathrm{~d} t=-2 \int\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right) \mathrm{d} t \\
& =-2\left(t-\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|\right)+C=-2 t+2 \ln (t+1)-\ln \left|t^2-1\right|+C \\
& =-2 \sqrt{\frac{1+x}{x}}+2 \ln \left(\sqrt{\frac{1+x}{x}}+1\right)+\ln |x|+C .
\end{aligned}
$$

除了上述基本换元形式外，应根据所给被积函数的特点，进行适当的变量替换， 转化便于求积的形式.

`例` 求 $\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}} \mathrm{~d} x$.
解 令 $\sqrt{\mathrm{e}^x+1}=t$, 则 $x=\ln \left(t^2-1\right), \mathrm{d} x=\frac{2 t \mathrm{~d} t}{t^2-1}$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}} \mathrm{~d} x & =\int \frac{1}{t} \cdot \frac{2 t}{t^2-1} \mathrm{~d} t=\int \frac{2}{t^2-1} \mathrm{~d} t \\
& =\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right) \mathrm{d} t=\int \frac{1}{t-1} \mathrm{~d}(t-1)-\int \frac{1}{t+1} \mathrm{~d}(t+1) \\
& =\ln |t-1|-\ln |t+1|+C=\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C \\
& =\ln \left|\frac{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}-1}{\sqrt{\mathrm{e}^x+1}+1}\right|+C .
\end{aligned}

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