最后更新: 2025-07-26 08:18 查看: 1225 次反馈同步训练

定积分的几何意义

## 定积分的几何意义
**定积分的几何意义是求曲线和坐标轴围成的代数面积和**，请看下面引例。

### 引例
`例` 利用定积分的定义, 计算定积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$.
解： 由于 $\mathrm{e}^x$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 故其定积分存在, 因而可以把区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等分, 即 $x_i=\frac{i}{n}, \Delta x_i=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$.
取 $\xi_i=x_i=\frac{i}{n}(i=1,2, \cdots, n)$, 由定积分的定义得

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}+\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}+\cdots \cdot \mathrm{e}^{\frac{n}{n}}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1$.

![图片](/uploads/2025-07/430ee8.jpg)
 
通过计算可以发现，定积分的几何意义，就是曲线$f(x), x=a,x=b$ 和 $y=0$ 这四条曲线围成的曲面面积。

### 总结
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续.
①若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 的值表示以 $y=f(x)$ 为曲边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-5);
②若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \leq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 为负值, 其绝对值表示以 $y=f(x)$ 为曲边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-6);

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123011900cb.png)

③若在 $[a, b]$ 上 $f(x)$ 有正有负, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示由 $y=f(x), x=a, x=b$, $y=0$ 所围图形在 $x$ 轴上方的面积减去在 $x$ 轴下方的面积之差(见图 3-7).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300a657e2.png)

## 定积分的几何意义和曲面面积的区别
考虑下图
 ![图片](/uploads/2025-07/164d97.jpg){width=400px}
 
 
$$
\begin{aligned}
I & =\int_a^b f(x) d x=\int_a^c f(x) d x+\int_c^d f(x) d x+\int_d^b f(x) d x \\
& =A_1-A_2+A_3
\end{aligned}
$$

其中 $A_1, A_2, A_3$ 代表图中相应曲边梯形的面积．

可以发现，如果题目要求你计算定积分$I$，他的计算的结果是 $A_1-A_2+A_3$ , 如果题目要求你计算阴影部分的面积则是则是$_1+A_2+A_3$， 你就记住一点：**求面积意味着每个面积都必须是正的**，而定积分的计算是正负可以抵消的，这也是为什么说定积分是**代数和**的原因。

> **因此，定积分的几何意义就是曲面围成的面积。但是，请注意：这和后面介绍的利用定积分求曲面的面积意义并不一样。后面介绍利用定积分求曲面面积暗含这面积一定是正的这一隐形要求，所以有“大减小”一说，即结果只能为正值，而此处定积分几何意义的曲面面积是曲面围成的面积，他是可以取负值，请注意其中细微的差别。** 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=332)

`例`由定积分的几何意义, 求 $\int_1^2(x-3) \mathrm{d} x$.
解 由于在区间 $[1,2]$ 上, $f(x)=x-3<0$, 因此 按照定积分的几何意义, 该定积分表示由曲边 $y=x-3$ 和直线 $x=1, x=2, y=0$ 所围图形面积的负 值, 该图形是底为 1 和 2 , 高为 1 的梯形(见图 3-8), 其 面积为 $\frac{1}{2

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