最后更新: 2025-04-01 06:57 查看: 969 次反馈刷题

定积分的几何意义

## 定积分的几何意义
定积分的基本意义是求曲线的面积，请看下面引例。

**引例：** 利用定积分的定义, 计算定积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$.
解 由于 $\mathrm{e}^x$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 故其定积分存在, 因而可以把区间 $[0,1]$ 分为 $n$ 等分, 即 $x_i=\frac{i}{n}, \Delta x_i=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$.
取 $\xi_i=x_i=\frac{i}{n}(i=1,2, \cdots, n)$, 由定积分的定义得

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left[\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}+\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}+\cdots \cdot \mathrm{e}^{\frac{n}{n}}\right]
\end{aligned}
$$

其中 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1$.

该例表明, 用定义计算定积分, 将积分区间采用等距离的划分较为简便, 但 即使如此, 其计算过程仍很繁琐, 所以应寻求其它计算定积分的简便方法.

设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续.
若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 的值表示以 $y=f(x)$ 为曲边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-5);
若在 $[a, b]$ 上 $f(x) \leq 0$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 为负值, 其绝对值表示以 $y=f(x)$ 为曲边, 与直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-6);

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123011900cb.png)

若在 $[a, b]$ 上 $f(x)$ 有正有负, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示由 $y=f(x), x=a, x=b$, $y=0$ 所围图形在 $x$ 轴上方的面积减去在 $x$ 轴下方的面积之差(见图 3-7).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212300a657e2.png)

> **因此，定积分的几何意义就是曲面围成的面积。但是，请注意：这和后面介绍的利用定积分求曲面的面积意义并不一样。后面介绍利用定积分求曲面面积暗含这面积一定是正的这一隐形要求，所以有“大减小”一说，即结果只能为正值，而此处定积分几何意义的曲面面积是曲面围成的面积，他是可以取负值，请注意其中细微的差别。** 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=332)

`例`由定积分的几何意义, 求 $\int_1^2(x-3) \mathrm{d} x$.
解 由于在区间 $[1,2]$ 上, $f(x)=x-3<0$, 因此 按照定积分的几何意义, 该定积分表示由曲边 $y=x-3$ 和直线 $x=1, x=2, y=0$ 所围图形面积的负 值, 该图形是底为 1 和 2 , 高为 1 的梯形(见图 3-8), 其 面积为 $\frac{1}{2}(1+2) \cdot 1=\frac{3}{2}$, 故

$$
\int_1^2(x-3) \mathrm{d} x=-\frac{3}{2}
$$

从这里可以看到曲面面积是$-\frac{3}{2}$,如果此题要求利用定积分求图中阴影的面积，那么他的面积是$\frac{3}{2}$,面积只能是正数。

这有点类似高中学的速度与速率。速度可以为正或者为负（因为他含有方法），而速率总是正的。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a191782.png)

`例`利用定积分表示极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{n}\left(\frac{1}{n} \cos \frac{1}{n}+\frac{2}{n} \cos \frac{2}{n}+\cdots+\frac{n-1}{n} \cos \frac{n-1}{n}+\cos 1\right) .
$$

解 原极限 $=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n} \cos \frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$.
易见, 若取 $x_i=\frac{i}{n}$, 则 $\Delta x_i=\frac{1}{n}, \xi_i=\frac{i}{n} \in\left[x_{i-1}, x_i\right]$, 原极限 $=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^n \xi_i \cos \xi_i \Delta x_i$.
由此可见, 被积函数应取为 $f(x)=x \cos x$, 注意到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 因而是可 积的.

$$
\text { 故有 原极限 }=\pi \int_0^1 x \cos x \mathrm{~d} x \text {. }
$$

注 今后可直接计算出上述积分结果为 $\pi[\sin 1+\cos 1-1]$.

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