最后更新: 2025-07-26 17:25 查看: 411 次反馈同步训练

定积分举例

## 定积分举例
`例` 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^x \cos ^2 t \mathrm{~d} t\right]$.
解 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_0^x \cos ^2 t \mathrm{~d} t\right]=\cos ^2 x$.

`例` 求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_1^{x^3} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right]$.
解 根据定理 2 推论, 有

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\int_1^{x^3} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right]=\mathrm{e}^{\left(x^3\right)^2} \cdot\left(x^3\right)^{\prime}=3 x^2 \mathrm{e}^{x^6} .
$$

`例` 求下列函数的导数:
(1) $y=\int_0^{x^2} \sin (t+1) \mathrm{d} t$;
(2) $y=\int_{x^3}^2 \frac{\mathrm{e}^t}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$.
解 (1) $y^{\prime}=\sin \left(x^2+1\right) \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=2 x \sin \left(x^2+1\right)$;
(2) $y^{\prime}=-\left(\frac{\mathrm{e}^{x^3}}{x^3}\right) \cdot\left(x^3\right)^{\prime}=-3 \cdot \frac{\mathrm{e}^{x^3}}{x}$.

`例` 设 $f(x)$ 是连续函数, 试求以下函数的导数:
(1) $F(x)=\int_{\cos x}^{\sin x} \mathrm{e}^{f(t)} \mathrm{d} t$
(2) $F(x)=\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t$.

解 (1) $F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{f(\sin x)} \cos x+\mathrm{e}^{f(\cos x)} \sin x$.
(2) 因为 $F(x)=x \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 所以 $F^{\prime}(x)=x f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.

`例` 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t=0$ 所确定. 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
解 在方程两边同时对 $x$ 求导, 得
于是

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t\right)=0,
$$

即

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y}\left(\int_0^{y^2} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int_x^0 \sin t \mathrm{~d} t\right)=0,
$$

$$
\mathrm{e}^{y^4} \cdot(2 y) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+(-\sin x)=0,
$$

故

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\sin x}{2 y \mathrm{e}^{y^4}} .
$$

`例` 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t}{x^2}$.
分析: 这是 $\frac{0}{0}$ 型不定式, 应用洛必达法则.
解 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_1^{\cos x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=-\mathrm{e}^{-\cos ^2 x} \cdot(\cos x)^{\prime}=\sin x \cdot \mathrm{e}^{-\cos ^2 x}$,
故 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{\cos x}^1 \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-(-\sin x) \mathrm{e}^{-\cos ^2 x}}{2 x}=\frac{1}{2 \mathrm{e}}$.

### 牛顿-莱布尼兹

`例` 求定积分 $\int_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x$.
解 $\mathrm{e}^x$ 是 $\mathrm{e}^x$ 的一个原函数, 由牛顿莱布尼茨公式得

$$
\int_0^1 \mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{d} x=\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1=\mathrm{e}^1-\mathrm{e}^0=\mathrm{e}-1 .
$$

注 上一节我们曾经用定积分的定义求过此积分的值, 很明显, 用牛顿莱布尼兹公式计算简便的多.

`例` 求 $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$.
解 当 $x<0$ 时, $\frac{1}{x}$ 的一个原函数是 $\ln |x|$,

$$
\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln \mid x \|_{-2}^{-1}=\ln 1-\ln 2=-\ln 2 .
$$

`例` 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 \leq x \leq 1 \\ 5 & 1<x \leq 2\end{array}\right.$, 求 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x$.
解 如图 3-14 所示, 在 $[1,2]$ 上规定: 当 $x=1$ 时, $f(x)=5$, 则由定积分性质得

$$
\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x+\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 2 x \mathrm{~d} x+\int_1^2 5 \mathrm{~d} x=6 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212304f6a853.png)

`例`计算 $\int_0^1|2 x-1| \mathrm{d} x$.
解 因为 $|2 x-1|=\left\{\begin{array}{ll}1-2 x, & x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x-1, & x>\frac{1}{2}\end{array}\right.$ (见图 3-15),
所以

$$
\int_0^1|2 x-1| \mathrm{d} x=\int_1^{\frac{1}{2}}(1-2 x) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}

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