最后更新: 2025-04-01 07:28 查看: 454 次反馈刷题

平面图形的面积-直角坐标系法

## 平面图形的面积
定积分是求某种总量的数学模型, 它在几何学、物理学、经济学、 蛀会学等方面都有着广泛的应用, 显示了巨大的魅力. 也正是这些广泛 的应用, 推动着积分学的不断发展和完善. 因此, 在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式, 更重要的还在于深刻领会用定 积分解决实际问题的基本思想和方法一一**微元法**, 不断积累和提高数学的应用能力.

求曲边梯形面积经历了分割、近似、求和、取极限四步, 导出了定积分的 定义, 即 $\int_a^b f(x) d x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$. 若将积分元素 $f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 对应于被积表达式 $f(x) \mathrm{d} x$ ，积分和 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 的极限对应于 $f(x) \mathrm{d} x$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分，则定积分的 定义可简化为两步:
第一步 求出 $f(x) \mathrm{d} x$ (相当于写出 $\left.f\left(\xi_i\right) \Delta x_i\right)$;
第二步 求定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (相当于求 $\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 的极限)；
从而可以利用定积分的有关运算解决一些几何和物理的问题.

## 直角坐标系一般方程
根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积.

> **注意：定积分的几何意义表示的是曲线为此的面积，这里的面积可以为负值，而“利用定积分求曲面面积”隐函数一个现实的意义：面积只能为正值。因此，后面求面积时，会有“大减小”一说。**

由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积.
(1) 若 $f(x) \geq 0$ ，则其面积为: $S=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (见图 3-19);
(2) 若 $f(x) \leq 0$ ，则其面积为: $S=-\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ (见图 3-20);

![图片](/uploads/2022-12/image_202212307a0262d.png)
(3) 若 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 内既有取正值的 部分，也有取负值的部分(见图 3-21)， 则其面积为

$$
S=\int_a^{c_1} f(x) \mathrm{d} x-\int_{c_1}^{c_2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c_2}^b f(x) \mathrm{d} x
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230bb83538.png)

综上所述，由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为

$$
S=\int_a^b|f(x)| d x .
$$

我们利用定积分求面积的公式来验证一个已知的结果.

`例` 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的面积.
解 由 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，得

$$
y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2},
$$

其中，若 $y$ 取正号，即表示上半椭圆的方程， 若 $y$ 取负号，即表示下半椭圆的方程(见图 3-22).

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123058859b3.png)

又设椭圆的面积为 $S$ ，它在第一象限的面积为 $S_1$ ，由于椭圆关于两坐标轴对 称，因而其面积为

$$
S=4 S_1=4 \int_0^a y \mathrm{~d} x=4 \int_0^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{4 b}{a} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x \text { ， }
$$

已知 $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4} a^2$ ，从而有 $A=\frac{4 b}{a} \cdot \frac{\pi}{4} a^2=\pi a b$.
椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 也可表示成参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \cos t \\
y=b \sin t
\end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi),\right.
$$

因此也可以有

$$
\begin{aligned}
S=4 S_1= & 4 \int_0^a y \mathrm{~d} x=4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 b \sin t \cdot a(-\sin t) \mathrm{d} t \\
= & 4 a b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t \mathrm{~d} t=4 a b \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\pi a b .
\end{aligned}
$$

特别地，若 $a=b=R$ ，则得到圆的面积 $S=\pi R^2$.

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