幂级数的收敛域

日期: 2023-01-01 18:58 查看: 105 次

对于一般的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，显然点 $x=0$ 时它的一个收敛点， 因为在该点处 幂级数只含有一项 $a_0$ ，其余各项都是 0 ，故在点 $x=0$ 处，幂级数的和 $s$ 等于 $a_0$. 除了 $x=0$ 点以外，还有哪些点是收玫点呢? 我们有下面的定理.
定理 1 (Abel 收敛定理) 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 满足

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ，
$$

有以下结论成立
（1）若 $\rho=0$ ，则对任一 $x$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛;
（2）若 $0<\rho<+\infty$ ，当 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛，当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ 时， 佘级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散；
(3) 若 $\rho=+\infty$ ，则幂级数在 $x \neq 0$ 时都发散.
定理 1 (Abel 收敛定理) 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ ，
（1）若 $\rho=0$ ，则对任一 $x$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛;
证 要证幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛，只需验证正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 收敛. 取 $u_n=\left|a_n x^n\right|$ ，则有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_n x^n\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|=\rho|x| .
$$

（1）若 $\rho=0$ ，则对任一 $x$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_n x^n\right|}=0<1$ 由正项级数的比值审敛定理可知，级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 收敛，从而对任一 $x$ ，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛;
定理 1 (Abel 收敛定理) 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 满足
(2) 若 $0<\rho<+\infty$ ，当 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛，当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ 时， 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散；

（2）若 $0<\rho<+\infty$ ，当 $\rho|x|<1$ ，即 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ ，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝 对收敛;而当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ ，即 $\rho|x|>1$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ，从而级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散.
(3) 若 $\rho=+\infty$ ，则对于 $x \neq 0 ， \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho|x|=+\infty$ ， 故级数在 $x \neq 0$ 的所 有点都是发散的，即仅在 $x=0$ 一点处收敛.
由这个定理可以看出，当 $0<\rho<+\infty$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{\rho}, \frac{1}{\rho}\right)$ 内 绝对收玫，自然是收敛的，在 $\left(-\infty,-\frac{1}{\rho}\right) \cup\left(\frac{1}{\rho},+\infty\right)$ 在 $x=-\frac{1}{\rho}$ 和 $x=\frac{1}{\rho}$ 两点处级数 可能收敛也可能发散，这两点是幂级数收敛点和发散点的分界点，这两点到原点 的距离都是 $\frac{1}{\rho}$. 令 $R=\frac{1}{\rho}$ ，称 $R$ 为幂级数的收敛半径 (见图 8-2).

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由这个定理可以看出，当 $0<\rho<+\infty$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{\rho}, \frac{1}{\rho}\right)$ 内 绝对收敛，自然是收敛的，在 $\left(-\infty,-\frac{1}{\rho}\right) \cup\left(\frac{1}{\rho},+\infty\right)$ 在 $x=-\frac{1}{\rho}$ 和 $x=\frac{1}{\rho}$ 两点处级数 可能收玫也可能发散，这两点是幂级数收敛点和发散点的分界点，这两点到原点 的距离都是 $\frac{1}{\rho}$. 令 $R=\frac{1}{\rho}$ ，称 $R$ 为幂级数的收敛半径.
$(-R, R)$ 称为幂级数的收敛区间，而幂级数的收敛域必为下列区间之一:
当 $\rho=0$ 时，幂级数处处都收敛，规定收敛半径 $R=+\infty$ ；
当 $\rho=+\infty$ 时，幂级数仅在原点收敛，规定收敛半径 $R=0$.
定理 2 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，若

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ，
$$

则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径

$$
R=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\rho}, & \rho \neq 0, \\
+\infty, & \rho=0, \\
0, & \rho=+\infty .
\end{array}\right.
$$

例 2 求下列幂级数的收剑域
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}(-n x)^n$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$;
(5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} x^n$;
(6) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^2} x^n$.
例 2 求下列幂级数的收敛域 (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}$
解 (1) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 /(n+1)}{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1$ ， 所以收敛半径 $R=1$.
当 $x=1$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}=(-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots+(-1)^n \frac{1}{n}+\cdots$ ，该级数 夛收敛的交错级数；
当 $x=-1$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$ ，该级数是调和级数，发散.
从而所求收敛域为 $(-1,1]$.
例 2 求下列幂级数的收敛域
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}(-n x)^n$
(2) 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-n-1)^{n+1}}{(-n)^n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n(n+1)=+\infty$, 故收敛半 径 $R=0$, 即题设级数只在 $x=0$ 处收敛.
例 2 求下列幂级数的收敛域
(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$
(3) 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1) !}}{\frac{1}{n !}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，所以收玫半径 $\rho=+\infty$ ，
所求收敛域为 $(-\infty,+\infty)$.
例 2 求下列幂级数的收敛域 (4) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$
(4) 令 $t=x-\frac{1}{2}$ ，题设级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}} t^n$ ， 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{2^n} \mid=2$ ， 所以收敛半径 $R=\frac{1}{2}$ ，收敛区间为 $|t|<\frac{1}{2}$ ， 即 $0 \leq x \leq 1$. 当 $x=0$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ ，该级数发散；当 $x=1$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ， 该级数收敛，从而所求收敛域为 $(0,1]$.
例 2 求下列幂级数的收敛域 (5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} x^n$;
(5) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{3^n}{\sqrt{n}}}=3$ ，所以 $R=\frac{1}{3}$. 当 $x=-\frac{1}{3}$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 为交 错级数，满足莱布尼兹定理要求，故该级数收敛；当 $x=\frac{1}{3}$ 时， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 为 $p-$ 级 数， $p=\frac{1}{2}<1$ ，故级数发散， 因此该级数收敛域为 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
例 2 求下列幂级数的收敛域
(6) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^2} x^n$.
(6) $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{5^n}{n^2}}=5$, 所以 $R=\frac{1}{5}$.
当 $x=-\frac{1}{5}$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ ，该级数收敛；
当 $x=\frac{1}{5}$ 时，级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ，该级数收敛，从而该级数收敛域为 $\left[-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right]$.

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