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高等数学
第三章 一元函数积分学
瑕积分
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更新:
2024-10-04 09:01
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瑕积分
## 瑕积分 如果函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的任一邻域内都无界, 则称点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点 (也称为无界间断点),无界函数的反常积分也称瑕积分. 例如下图$y=\dfrac{1}{x}$,在$x=0$处,就是函数的瑕点。  >通俗的说,瑕积分就是积分区域内有瑕点(瑕疵)的积分 ### 情况1 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续,点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点,任取 $\varepsilon>0$ , 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在,则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的反常积分, 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, 即 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) \mathrm{d} x , $$ 如果上述积分存在则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 如果极限不存在,则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散. ### 情况2 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续,点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点,任取 $\varepsilon>0$ , 如果极限 $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x$ 存在,则称此极限为函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上的反常积分, 仍记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$. 即 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x, $$ 如果上述积分存在,则称为反常积分收敛;如果不存在则称反常积分发散。 ### 情况3 设函数 $f(x)$ 在 $[a, c),(c, b]$ 上连续,点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点,如果 $\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 均收敛,则定义 $$ \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x, $$ 为收敛积分,否则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散积分. 若 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in(a, b)$ ,则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ,其中 当 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(a)=f(a)$ 时, $F(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} F(x)$ ; 当 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点且 $F^{\prime}(b)=f(b)$ 时, $F(b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} F(x)$. >无界函数的反常积分在形式上与定积分没有区别,故需要注意对它的识别. `例` 计算反常积分 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x$. 解 $\int_0^1 \ln x \mathrm{~d} x=\left.x \ln x\right|_0 ^1-\int_0^1 \mathrm{~d} x=\left.(x \ln x-x)\right|_0 ^1=-1$, 其中 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-x)=0$. `例` 讨论反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 的敛散性. 解 当 $q=1$ 时, $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x|\right|_0 ^2=\ln 1-\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|$, 由于 $\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln |x|=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ , 极限不存在,故反常积分 $\int_0^1 \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 发散; 当 $q \neq 1$ 时, $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x=\left.\frac{x^{1-q}}{1-q}\right|_0 ^1=\left\{\begin{array}{cc}+\infty, & q>1 \\ \frac{1}{1-q}, & q<1\end{array}\right.$. 因此 $\int_0^1 \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 当 $q \geq 1$ 时发散,当 $q<1$ 时收敛. 注 由例 6 可知, $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^q} \mathrm{~d} x$ 发散 (对任何 $q$ ). `例` 计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$. 解 这个反常积分既是无穷限的,又有瑕点,故需要分开讨论. $$ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x & =\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x+\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \\ & =-\left.2 \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right|_0 ^1+-\left.2 \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right|_1 ^{+\infty}=-2(0-1)=2 . \end{aligned} $$ `例` 讨论反常积分 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的剑散性. 解 由于 $\int_{-1}^0 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^0$ (或 $\int_0^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_0 ^1$ )发散,则 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 发散. 注 如果忽视瑕点 $x=0$ ,则会出现错误结果: $$ \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^1=-1-1=-2 . $$ `例` 讨论反常积分 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 的玫散性. 解 由 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}=\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}$ , 知 $x=1$ 为瑕点,因此先考虑 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ ,由于 $$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3} & =\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}=\frac{1}{2} \int_0^1\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right) \mathrm{d} x \\ & =\left.\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|\right|_0 ^1=\frac{1}{2}\left(\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|-\ln 3\right) \end{aligned} $$ 因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|$ 不存在,故 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散,因此 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散.
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