一般周期函数的傅里叶级数

日期: 2023-01-01 19:18 查看: 80 次

定理 2 设周期为 $2 l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理条件，则它的傅里叶级 数为

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi}{l} x+b_n \sin \frac{n \pi}{l} x\right), \quad x \in\left\{x \mid \frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]=f(x)\right\},
$$

其中

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \mathrm{d} x, \\
a_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots, \\
b_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots .
\end{gathered}
$$

定理证明从略.
同样，若 $f(x)$ 是奇函数，则有正弦级数

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi}{l} x \text {, }
$$

其中

$$
b_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x ， \quad n=1,2, \cdots \text {; }
$$

若 $f(x)$ 是偶函数，则有余弦级数

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n \pi}{l} x,
$$

其中 $\quad a_0=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \mathrm{d} x ， a_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x ， n=1,2, \cdots$.
若函数 $f(x)$ 仅在 $(-l, l]$ 上有定义，且满足收敛定理条件，则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓. 即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期的周期函数，且当 $x \in(-l, l]$ 时， $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成傅里叶级数，则当 $x \in(-l, l]$ 时，就得到 $f(x)$ 的傅里 叶级数.
若函数 $f(x)$ 仅在 $(0, l]$ 上有定义，且满足收敛定理条件，则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, 0]$ 上作奇 (偶) 延拓，然后在 $(-l, l]$ 外作周期延拓，即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期 的奇 (偶) 函数，且当 $x \in(0, l]$ 时， $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成正 (余) 弦级数， 则当 $x \in(0, l]$ 时，就得到 $f(x)$ 的正 (余) 弦级数.
例 7 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & -3<x \leq 0, \\ x, & 0<x \leq 3\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓，使其满足收敛定理条件.

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=-\frac{3}{2}, \\
a_n=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x \\
=\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=\frac{3}{n^2 \pi^2}\left[1-(-1)^n\right], \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
b_n & =\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=\frac{9}{n \pi}(-1)^{n+1}, n=1,2, \cdots,
\end{aligned}
$$

因此， $f(x)=-\frac{3}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3}{n^2 \pi^2}\left[1-(-1)^n\right] \cos \frac{n \pi}{3} x+\frac{9}{n \pi}(-1)^{n+1} \sin \frac{n \pi}{3} x\right], x \in(-3,3)$. 当 $x=\pm 3$ 时，级数收款于 $\frac{1}{2}\left[f\left(-3^{+}\right)+f\left(3^{-}\right)\right]=\frac{1}{2}(-6+3)=-\frac{3}{2}$.
例 8 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & 1<x \leq 2\end{array}\right.$ 展开成正弦级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $(-2,0]$ 上作奇 (偶) 延拓，然后在 $(-2,2]$ 外作周期延拓， 使其满足收敛定理条件.

$$
\begin{aligned}
b_n & =\frac{2}{2} \int_0^2 f(x) \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x=\int_0^1 x \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x+\int_1^2 \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x \\
& =\left[-\frac{2}{n \pi} x \cos \frac{n \pi}{2} x\right]_0^1+\frac{2}{n \pi} \int_0^1 \cos \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x-\left[\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2} x\right]_1^2 \\
& =-\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2}+\left[\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2} x\right]_0^1-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi+\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2} \\
& =\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi, \quad n=1,2, \cdots,
\end{aligned}
$$

例 8 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & 1<x \leq 2\end{array}\right.$ 展开成正弦级数.

$$
b_n=\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi, \quad n=1,2, \cdots,
$$

因此， $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi\right] \sin \frac{n \pi}{2} x, x \in[0,2)$.

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