最后更新: 2024-10-04 19:29 查看: 416 次反馈刷题

齐次方程

## 齐次方程
如果一阶微分方程可化成
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
的形式, 那么就称这方程为齐次方程, 例如

$$
\left(x y-y^2\right) d x-\left(x^2-2 x y\right) d y=0
$$

是齐次方程，因为它可化成

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^2}{x^2-2 x y}
$$

即

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^2}{1-2\left(\frac{y}{x}\right)}
$$

在齐次方程

$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$

中,引进新的未知函数

$$
u=\frac{y}{x} ...(3-2)
$$

就可把它化为可分离变量的方程. 因为由  有

$$
y=u x, \quad \frac{d y}{d x}=u+x \frac{d u}{d x}
$$

代人方程 (3-1)，便得方程

$$
u+x \frac{d u}{d x}=\varphi(u)
$$

即

$$
x \frac{d u}{d x}=\varphi(u)-u
$$

分离变量,得
$$
\frac{d u}{\varphi(u)-u}=\frac{d x}{x}
$$

两端积分, 得

$$
\int \frac{d u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{d x}{x}
$$

求出积分后, 再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.
有的微分方程通过适当的变量代换后, 也可以转化为可分离变量的方程.

>齐次的“次”是指指数，例如上例 $x y-y^2$ 和$x^2-2 x y$ 指数都是两次

`例` 求微分方程 $x(\ln x-\ln y) \mathrm{d} y-y \mathrm{~d} x=0$ 的通解.
解 原方程变形为 $\ln \frac{y}{x} \mathrm{~d} y+\frac{y}{x} \mathrm{~d} x=0$,

$$
\text { 令 } u=\frac{y}{x} \text {, 则 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u+\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text {, }
$$

代入原方程并整理, 得 $\frac{\ln u}{u(\ln u+1)} \mathrm{d} u=-\frac{\mathrm{d} x}{x}$,
两边积分得
即

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{\ln u}{u(\ln u+1)} \mathrm{d} u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x}, \\
& \int \frac{\ln u}{\ln u+1} \mathrm{~d} \ln u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x},
\end{aligned}
$$

从而 $\quad \int\left(1-\frac{1}{\ln u+1}\right) \mathrm{d} \ln u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x}$,
故方程通解为
$\ln u-\ln (\ln u+1)=-\ln x+\ln C$
即

$$
y=C(\ln u+1)
$$

变量回代得所求通解: $y=C\left(\ln \frac{y}{x}+1\right)$.
由上例可知, 如果一阶微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y)$ 中的函数 $f(x, y)$ 可化为 $\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$, 则通过变量替换 $u=\frac{y}{x}$ 或转化为可分离变量方程求解. 我们称形如 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的微 分方程为齐次方程.

在齐次方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 中, 令 $u=\frac{y}{x}$, 即 $y=u x$, 有

$$
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\varphi(u),
$$

分离变量, 得

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x} .
$$

两端积分, 得

$$
\int \frac{\mathrm{d} u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{\mathrm{d} x}{x} .
$$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.

`例` 求解微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{6}$ 的特解.
解 所求方程为齐次方程, 设 $u=\frac{y}{x}$, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$,
代入原方程得

$$
\begin{gathered}
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=u+\tan u, \\
\cot u \mathrm{~d} u=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x,
\end{gathered}
$$

分离变量得
两边积分得
$\ln \sin u=\ln x+\ln C$,
即
$\sin u=C x$.

将 $u=\frac{y}{x}$ 回代, 则得到题设方程的通解为 $\sin \frac{y}{x}=C x$. 利用初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{6}$, 得到 $C=\frac{1}{2}$,
从而所求题设方程的特解为 $\sin \frac{y}{x}=\frac{1}{2} x$.

`例` 求解微分方程 $\frac{\mathrm{d} x}{x^2-x y+y^2}=\frac{\mathrm{d} y}{2 y^2-x y}$.
解 原方程变形为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 y^2-x y}{x^2-x y+y^2}=\frac{2\left(\frac{y}{x}\right)^2-\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2}$,
令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 方程化为 $u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 u^2-u}{1-u+u^2}$,
分离变量得 $\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u}\right)-\frac{2}{u-2}+\frac{1}{u-1}\right] \mathrm{d} u=\frac{\mathrm{d} x}{x}$,
两边积分得

$$
\begin{array}{r}
\ln (u-1)-\frac{3}{2} \ln (u-2)-\frac{1}{2} \ln u=\ln x+\ln C, \\
\frac{u-1}{\sqrt{u}(u-2)^{\frac{3}{2}}}=C x .
\end{array}
$$

整理得
所求微分方程的解为 $(y-x)^2=C y(y-2 x)^3$.

`例`利用变量代换法求方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^2$ 的通解.
解 令 $x+y=u$, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}-1$, 代入原方程得 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=1+u^2$,
分离变量得 $\frac{\mathrm{d} u}{1+u^2}=\mathrm{d} x$, 两边积分得 $\arctan u=x+C$, 回代得 $\arctan (x+y)=x+C$,
故原方程的通解为 $y=\tan (x+C)-x$.

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