最后更新: 2025-08-28 17:49 查看: 527 次反馈同步训练

齐次方程

## 齐次方程
如果一阶微分方程可化成
$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$
的形式, 那么就称这方程为齐次方程,。

>齐次的“次”是指指数，例如上例 $x y-y^2$ 和$x^2-2 x y$ 指数都是两次

例如

$$
\left(x y-y^2\right) d x-\left(x^2-2 x y\right) d y=0
$$

是齐次方程，因为它可化成

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^2}{x^2-2 x y}
$$

即

$$
\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^2}{1-2\left(\frac{y}{x}\right)}
$$

## 齐次方程的解法
在齐次方程

$$
\frac{d y}{d x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)
$$

中,引进新的未知函数

$$
u=\frac{y}{x} ...(3-2)
$$

就可把它化为可分离变量的方程. 因为有

$$
y=u x, \quad \frac{d y}{d x}=u+x \frac{d u}{d x}
$$

代人上面方程，便得方程

$$
u+x \frac{d u}{d x}=\varphi(u)
$$

即

$$
x \frac{d u}{d x}=\varphi(u)-u
$$

分离变量,得
$$
\frac{d u}{\varphi(u)-u}=\frac{d x}{x}
$$

两端积分, 得

$$
\int \frac{d u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{d x}{x}
$$

求出积分后, 再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.
有的微分方程通过适当的变量代换后, 也可以转化为可分离变量的方程.

`例` 求微分方程 $\frac{ d y}{d x}-\frac{2}{x} y=1$ 的通解．
解：$\frac{ d y}{d x}-\frac{2}{x} y=1$ 可化为 $\frac{ d y}{d x}=2 \frac{y}{x}+1$ ，令 $u=\frac{y}{x}$ ，代人得

$$
u+x \frac{d u}{d x}=2 u+1 \text {, 即 } x \frac{d u}{d x}=u+1 \text {. }
$$

当 $u+1=0$ 时，显然 $y=-x$ 为微分方程的一个解；
当 $u+1 \neq 0$ 时，变量分离得

$$
\frac{d u}{u+1}=\frac{d x}{x},
$$

等号两边积分得

$$
\ln |u+1|=\ln |x|+C_0,
$$

即 $u+1= \pm e ^{C_0} x$ ，令 $\pm e ^{C_0}=C$ ，则 $y=C x^2-x(C \neq 0)$ ，故原方程的通解为 $y=C x^2-x$（C 为任意常数）．

`例` 求微分方程 $x(\ln x-\ln y) \mathrm{d} y-y \mathrm{~d} x=0$ 的通解.
解 原方程变形为 $\ln \frac{y}{x} \mathrm{~d} y+\frac{y}{x} \mathrm{~d} x=0$,

$$
\text { 令 } u=\frac{y}{x} \text {, 则 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u+\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text {, }
$$

代入原方程并整理, 得 $\frac{\ln u}{u(\ln u+1)} \mathrm{d} u=-\frac{\mathrm{d} x}{x}$,
两边积分得
即

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{\ln u}{u(\ln u+1)} \mathrm{d} u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x}, \\
& \int \frac{\ln u}{\ln u+1} \mathrm{~d} \ln u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x},
\end{aligned}
$$

从而 $\quad \int\left(1-\frac{1}{\ln u+1}\right) \mathrm{d} \ln u=-\int \frac{\mathrm{d} x}{x}$,
故方程通解为
$\ln u-\ln (\ln u+1)=-\ln x+\ln C$
即

$$
y=C(\ln u+1)
$$

变量回代得所求通解: $y=C\left(\ln \frac{y}{x}+1\right)$.

`例` 求解微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{6}$ 的特解.
解 所求方程为齐次方程, 设 $u=\frac{y}{x}$, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$,
代入原方程得

$$
\begin{gathered}
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=u+\tan u, \\
\cot u \mathrm{~d} u=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x,
\end{gathered}
$$

分离变量得
两边积分得
$\ln \sin u=\ln x+\ln C$,
即

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