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一般周期函数的傅里叶级数
日期:
2023-01-01 19:18
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定理 2 设周期为 $2 l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理条件,则它的傅里叶级 数为 $$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi}{l} x+b_n \sin \frac{n \pi}{l} x\right), \quad x \in\left\{x \mid \frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]=f(x)\right\}, $$ 其中 $$ \begin{gathered} a_0=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \mathrm{d} x, \\ a_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots, \\ b_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots . \end{gathered} $$ 定理证明从略. 同样,若 $f(x)$ 是奇函数,则有正弦级数 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi}{l} x \text {, } $$ 其中 $$ b_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x , \quad n=1,2, \cdots \text {; } $$ 若 $f(x)$ 是偶函数,则有余弦级数 $$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n \pi}{l} x, $$ 其中 $\quad a_0=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \mathrm{d} x , a_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x , n=1,2, \cdots$. 若函数 $f(x)$ 仅在 $(-l, l]$ 上有定义,且满足收敛定理条件,则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓. 即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期的周期函数,且当 $x \in(-l, l]$ 时, $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成傅里叶级数,则当 $x \in(-l, l]$ 时,就得到 $f(x)$ 的傅里 叶级数. 若函数 $f(x)$ 仅在 $(0, l]$ 上有定义,且满足收敛定理条件,则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, 0]$ 上作奇 (偶) 延拓,然后在 $(-l, l]$ 外作周期延拓,即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期 的奇 (偶) 函数,且当 $x \in(0, l]$ 时, $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成正 (余) 弦级数, 则当 $x \in(0, l]$ 时,就得到 $f(x)$ 的正 (余) 弦级数. 例 7 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & -3<x \leq 0, \\ x, & 0<x \leq 3\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数. 解 将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓,使其满足收敛定理条件. $$ \begin{gathered} a_0=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=-\frac{3}{2}, \\ a_n=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x \\ =\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=\frac{3}{n^2 \pi^2}\left[1-(-1)^n\right], \quad n=1,2, \cdots, \end{gathered} $$ $$ \begin{aligned} b_n & =\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \sin \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=\frac{9}{n \pi}(-1)^{n+1}, n=1,2, \cdots, \end{aligned} $$ 因此, $f(x)=-\frac{3}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3}{n^2 \pi^2}\left[1-(-1)^n\right] \cos \frac{n \pi}{3} x+\frac{9}{n \pi}(-1)^{n+1} \sin \frac{n \pi}{3} x\right], x \in(-3,3)$. 当 $x=\pm 3$ 时,级数收款于 $\frac{1}{2}\left[f\left(-3^{+}\right)+f\left(3^{-}\right)\right]=\frac{1}{2}(-6+3)=-\frac{3}{2}$. 例 8 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & 1<x \leq 2\end{array}\right.$ 展开成正弦级数. 解 将函数 $f(x)$ 在 $(-2,0]$ 上作奇 (偶) 延拓,然后在 $(-2,2]$ 外作周期延拓, 使其满足收敛定理条件. $$ \begin{aligned} b_n & =\frac{2}{2} \int_0^2 f(x) \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x=\int_0^1 x \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x+\int_1^2 \sin \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x \\ & =\left[-\frac{2}{n \pi} x \cos \frac{n \pi}{2} x\right]_0^1+\frac{2}{n \pi} \int_0^1 \cos \frac{n \pi}{2} x \mathrm{~d} x-\left[\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2} x\right]_1^2 \\ & =-\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2}+\left[\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2} x\right]_0^1-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi+\frac{2}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{2} \\ & =\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi, \quad n=1,2, \cdots, \end{aligned} $$ 例 8 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 1, & 1<x \leq 2\end{array}\right.$ 展开成正弦级数. $$ b_n=\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi, \quad n=1,2, \cdots, $$ 因此, $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{n \pi}\right)^2 \sin \frac{n \pi}{2}-\frac{2}{n \pi} \cos n \pi\right] \sin \frac{n \pi}{2} x, x \in[0,2)$.
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