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可降阶的微分方程

## 可降阶的微分方程
对一般的二阶微分方程没有普遍的解法, 本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程.
可降阶微分方程经过适当的变量替换可降为一阶微分方程出 然后求解一阶微分方程, 再将变量回代, 从而求得所给二阶微分方程的解.
而在学习二阶线性微分方程的时候, 我们需要先了解一下欧拉公式:

$$
\mathrm{e}^{i x}=\cos x+i \sin x,
$$

这是个联系指数函数和三角函数的桥梁, 在这一节的公式证明中会用到这个公式.

二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程. 高阶微分方程在工程技 术中有着广泛的应用. 高阶微分方程的求解问题一般比一阶微分方程复杂, 能够求解的类型也不多, 本小节介绍三种可降阶的微分方程的解法.

##  $y^{\prime \prime}=f(x)$ 型
在方程 $y^{\prime \prime}=f(x)$ 两端积分, 得

$$
y^{\prime}=\int f(x) \mathrm{d} x+C_1,
$$

再次积分, 得

$$
y=\int\left[\int f(x) \mathrm{d} x+C_1\right] \mathrm{d} x+C_2 .
$$

这种类型的方程的解法, 可推广到 $n$ 阶微分方程.

`例` 求方程 $y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{2 x}-\cos x$ 满足 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ 的特解.
解 对所给方程接连积分二次, 得

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\sin x+C_1 \text {, }  ...(1)\\
& y=\frac{1}{4} \mathrm{e}^{2 x}+\cos x+C_1 x+C_2, ...(2) \\
&
\end{aligned}
$$

在(1)中代入条件 $y^{\prime}(0)=1$, 得 $C_1=\frac{1}{2}$; 
在 (2)中代入条件 $y(0)=0$, 得 $C_2=-\frac{5}{4}$, 从而所求题设方程的特解为

$$
y=\frac{1}{4} \mathrm{e}^{2 x}+\cos x+\frac{1}{2} x-\frac{5}{4} .
$$

##  $y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型
这种方程的特点是不显含末知函数 $y$, 求解的方法是:
作代换, 令 $y^{\prime}=p$, 则 $y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}$, 原方程化为 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=f(x, p)$, 这是关于 $x, p$ 的一 阶微分方程. 若可用前面的方法求解, 并设可得到的通解可写成 $p=\varphi\left(x, C_1\right)$, 则 原方程的通解为 $y=\int \varphi\left(x, C_1\right) \mathrm{d} x+C_2$.

`例` 求微分方程 $y^{\prime \prime}=1+y^{\prime 2}$ 的通解.
解 令 $y^{\prime}=p, y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}$, 方程为 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=1+p^2$, 即 $\frac{\mathrm{d} p}{1+p^2}=\mathrm{d} x$, 得 $\arctan p=x+C_1$, 也即 $p=\tan \left(x+C_1\right)$,
故 $y=\int \tan \left(x+C_1\right) \mathrm{d} x=-\ln \left|\cos \left(x+C_1\right)\right|+C_2$.

`例` 求微分方程 $\left(1+x^2\right) y^{\prime \prime}=2 x y^{\prime},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3 \quad$ 的特解.
解 题设方程属 $y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型. 设 $y^{\prime}=p$, 则 $y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}$ 代入方程并分离变量后, 有

$$
\frac{\mathrm{d} p}{p}=\frac{2 x}{1+x^2} \mathrm{~d} x .
$$

两端积分, 得 $\ln |p|=\ln \left(1+x^2\right)+C$, 即 $p=y^{\prime}=C_1\left(1+x^2\right)\left(C_1=\pm \mathrm{e}^c\right)$.
由条件 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$, 得 $C_1=3$, 所以 $y^{\prime}=3\left(1+x^2\right)$.
两端再积分, 得 $y=x^3+3 x+C_2$. 又由条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$, 得 $C_2=1$,
于是所求的特解为 $y=x^3+3 x+1$.

##  $y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 型
这种方程的特点是不显含自变量 $x$. 解决的方法是作代换, 令 $y^{\prime}=p$, 则

$$
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y},
$$

原方程化为 $p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}=f(y, p)$, 这是关于 $y, p$ 的一阶微分方程. 若可用前面的 方法求解, 并设可得到的通解可写成 $p=\varphi\left(y, C_1\right)$, 则原方程的通解为

$$
\int \frac{\mathrm{d} y}{\varphi\left(y, C_1\right)}=x+C_2 .
$$

`例` 求微分方程 $y^{\prime \prime}=\frac{2 y-1}{y^2+1} y^{\prime 2}$ 的通解.
解 令 $y^{\prime}=p, y^{\prime \prime}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}$, 方程为 $p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}=\frac{2 y-1}{y^2+1} p^2,(p=0$ 时, $y=C)$ 当 $p \neq 0$ 时, $\frac{\mathrm{d} p}{p}=\frac{2 y-1}{y^2+1} \mathrm{~d} y$, 积分得 $\ln |p|=\ln \left(1+y^2\right)-\arctan y+C$, 即 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p=C_1\left(1+y^2\right) \mathrm{e}^{-\arctan y}$, 分离变量得 $\frac{\mathrm{e}^{\arctan y}}{1+y^2} \mathrm{~d} y=C_1 \mathrm{~d} x$, 故通解为

$$
\mathrm{e}^{\text {arctan } y}=C_1 x+C_2
$$

`例` 求微分方程 $y y^{\prime \prime}=2\left(y^{\prime 2}-y^{\prime}\right)$ 满足初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$ 的特解.
解 令 $y^{\prime}=p$, 由 $y^{\prime \prime}=p \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}$, 代入方程并化简得 $y \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} y}=2(p-1)$.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得 $p=y^{\prime}=C y^2+1$,
再分离变量, 得 $\frac{\mathrm{d} y}{C y^2+1}=\mathrm{d} x$,
由初始条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=2$, 解得 $C=1$, 从而得 $\frac{\mathrm{d} y}{1+y^2}=\mathrm{d} x$,
再两边积分, 得 $\arctan y=x+C_1$ 或 $y=\tan \left(x+C_1\right)$,
由 $y(0)=1$ 解得 $C_1=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$, 从而所求特解为 $y=\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$.

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