科数网知识库
首页
目录
矩阵的定义
日期:
2023-01-01 19:47
查看:
117
次
由 $m$ 个方程 $n$ 个末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 构成的线性 (即: 一次) 方程组可以表示为: $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m, \end{array}\right. $$ 该线性方程组由常数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 和 $b_i(i=1,2, \cdots, m)$ 完全确定， 可以用一个 $m \times(n+1)$ 个数排成的 $m$ 行 $n+1$ 列的数表 $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{array}\right) $$ 定义1 $m \times n$ 个数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right) $$ 称为一个 $m \times n$ 矩阵，简记为 $\left(a_{i j}\right)$ ，也记为 $\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$. 数 $a_{i j}$ 位于矩阵 $\left(a_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为矩阵的 $(i, j)$ 元素， 其中 $i$ 称为元素 $a_{i j}$ 的行标， $j$ 称为元素 $a_{i j}$ 的列标. 一般地，常用英文大写字母 $A, B, \cdots$ 或字母 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots$ 表示矩阵. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵. 本书除特别指明外，都是指实矩阵. $1 \times 1$ 的矩阵 $A=(a)$ 就记为 $\boldsymbol{A}=a$. $1 \times n$ 的矩阵 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 称为行矩阵，也称为 $n$ 维行向量. $ n \times 1$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 称为列矩阵，也称为 $n$ 维列向量. 所有元素都是零的 $m \times n$ 矩阵称为零矩阵，记为 $O_{m \times n}$ ，或简记为 $\boldsymbol{O}$. $m \times n$ 矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) \quad$ 称为 $n$ 阶方阵. 元素 $a_{i i}(i=1,2, \cdots, n)$ 所在的位置称为 $n$ 阶方阵的主对角线. 一个 $n$ 阶方阵主对角线上方的元素全为零， 即 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), $$ 称该 $n$ 阶方阵为下三角矩阵，其元素特点是: 当 $i<j$ 时， $a_{i j}=0$. 类似地，有上三角矩阵 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), $$ 其元素特点是: 当 $i>j$ 时， $a_{i j}=0$. $n$ 阶方阵 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{array}\right) $$ 称为 $n$ 阶对角矩阵，简称对角阵，记为 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$. 如果 $n$ 阶对角矩阵 $\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 对角线上的元素全相等， 即 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ，则称其为数量矩阵. 当 $a_1=a_2=\cdots=a_n=1$ 时，这个数量矩阵就称为 $n$ 阶单位矩阵，简称为单位阵， 记为 $E_n$ 或 $E$ 即 $$ E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \ldots & \cdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right) . $$ 定义2 两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵. 如果两个同型矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i j}\right)_{m \times n}$ 中所有对应位置的元素都相等， 即 $a_{i j}=b_{i j}$ ，其中 $i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n$ ，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$.
本系统使用
启明星知识库Kbase
搭建，最后更新于
2023-01-01 19:47
，如果您有意见或建议请点击
反馈
。