矩阵的转置

日期: 2023-01-01 19:57 查看: 85 次

定义 6 设 $m \times n$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{1 n} & a_{2 n} \\ M & M & & M \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \mathrm{~L} & a_m\end{array}\right)$ ，把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列，
得到的 $n \times m$ 矩阵称为矩阵 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{\mathrm{T}}$ ，即

$$
A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{21} & \mathrm{~L} & a_{m 1} \\
a_{12} & a_{22} & \mathrm{~L} & a_{m 2} \\
\mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \mathrm{~L} & a_{n n}
\end{array}\right) .
$$

矩阵的转置满足下面的运算规律 (这里 $k$ 为常数， $A$ 与 $B$ 为同型矩阵)：
(1) $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ (2) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ (3) $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ (4) $(k \boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=k \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$
例 6 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)$, 求 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$.
解法-

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right) \text {, 所以 }(\boldsymbol{A B})^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ll}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) \text {. }
$$

解㳂一

$$
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 1 \\
3 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{array}\right) .
$$

定义 $7 n$ 阶方阵 $A$ 如果满足 $A^{\mathrm{T}}=A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵，如果满足 $A^{\mathrm{T}}=-A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵.
由定义可知，
1 如果 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是对称矩阵，则 $a_{i j}=a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$.
如果 $n$ 阶方阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是反对称矩阵，
则 $a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)$ ，且 $a_{i i}=0(i=1,2, \cdots, n)$.
例 7 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明: $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{A A ^ { \mathrm { T } }}$ 都是对称矩阵.
证明 因为

$$
\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}, \quad\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}},
$$

所以 $A^{\mathrm{T}} A$ 和 $A A^{\mathrm{T}}$ 都是对称矩阵.

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