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n阶常系数齐次线性微分方程的解法

*四、 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法
$n$ 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
其特征方程为
根据特征方程的根, 可按表 4-2 直接写出其对应的微分方程的解.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123097146d9.png)
注 $n$ 次代数方程有 $n$ 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的通解为 $y=C_1 y_1+C_2 y_2+\cdots+C_n y_n$.
其中 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 是 $n$ 个线性无关的解.

例 14 求方程 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}=0$ 的通解.
解 特征方程为 $r^4-2 r^3+5 r^2=0$, 即 $r^2\left(r^2-2 r+5\right)=0$.
特征根是 $r_1=r_2=0$ 和 $r_{3,4}=-1 \pm 2 i$, 因此所给微分方程的通解为

$$
y=C_1+C_2 x+\mathrm{e}^x\left(C_3 \cos 2 x+C_4 \sin 2 x\right) \text {. }
$$

例 15 求下列微分方程的通解.
(1) $y^{(5)}+2 y^{(3)}+y^{\prime}=0$;
(2) $y^{(6)}-2 y^{(4)}-y^{\prime \prime}+2 y=0$.
解 (1) 特征方程为 $r^5+2 r^3+r=0$, 即 $r\left(r^2+1\right)^2=0$,
特征根 $r_1=0, r_2=r_3=i, r_4=r_5=-i$,
因此通解为
$y=\bar{C}_1+\left(\bar{C}_2+\bar{C}_3 x\right) \cos x+\left(C_4+\bar{C}_5 x\right) \sin x$.
(2)特征方程为 $r^6-2 r^4-r^2+2=0$, 即 $\left(r^2-2\right)\left(r^4-1\right)=0$,
特征根 $r_1=\sqrt{2}, r_2=-\sqrt{2}, r_3=1, r_4=-1, r_5=i, r_6=-i$.
因此通解为 $y=C_1 \mathrm{e}^{\sqrt{2} x}+C_2 \mathrm{e}^{-\sqrt{2} x}+C_3 \mathrm{e}^x+C_4 \mathrm{e}^{-x}+C_5 \cos x+C_6 \sin x$.

例 16 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为

$$
y_1=\mathrm{e}^x, y_2=x \mathrm{e}^x, y_3=\cos 2 x, y_4=3 \sin 2 x \text {, }
$$

求这个四阶微分方程及其通解.
解 由 $y_1$ 与 $y_2$ 可知, 它们对应的特征根为二重根 $r_1=r_2=1$,
由 $y_3$ 与 $y_4$ 可知, 它们对应的特征根为一对共轭复根 $r_{3,4}=\pm 2 i$.
所以特征方程为 $(r-1)^2\left(r^2+4\right)=0$, 即 $r^4-2 r^3+5 r^2-8 r+4=0$,
它所对应的微分方程为 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+4 y=0$,
其通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x+C_3 \cos 2 x+C_4 \sin 2 x$.

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