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微分方程的实际案例

## 微分方程的实际案例
本节讲述微分方程的几个实际案例，相关专业可选学此节内容.
在这一节我们会用到工程上常用的双曲函数和反双曲函数.
(1)双曲函数:
$\operatorname{sh} x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{2}, \operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}, \operatorname{th} x=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$ 分别称为双曲正弦、 双曲余弦和双曲正切.

(2)反双曲函数:
(1) $y=\operatorname{arsh} x$ 是 $x=\operatorname{sh} y$ 的反函数，反双曲正弦函数 $y=\operatorname{arsh} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$;
(2) $y=\operatorname{arch} x$ 是 $x=\operatorname{ch} y$ 的反函数，反双曲余弦函数 $y=\operatorname{arch} x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ ；
(3) $y=\operatorname{arth} x$ 是 $x=\operatorname{th} y$ 的反函数，反双曲正切函数 $y=\operatorname{arth} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}$.

## 一阶微分方程的实际案例
`例` 设一物体的温度为 $100^{\circ} \mathrm{C}$ ，将其放置在空气温度为 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的环境中冷却. 试求物体温度随时间 $t$ 的变化规律.
解 设物体的温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T(t)$, 在第一节的例 1 中我们 已经建立了该问题的数学模型

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}=-k(T-20) \\
\left.T\right|_{t=0}=100
\end{array} ，\right.
$$

其中 $k(k>0)$ 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解. 分离变量，得 $\frac{\mathrm{d} T}{T-20}=-k \mathrm{~d} t$

两边积分 $\int \frac{1}{T-20} \mathrm{~d} T=\int-k \mathrm{~d} t$, 得 $\ln |T-20|=-k t+C_1$ (其中 $C_1$ 为任意常数)， 即 $T-20=\pm \mathrm{e}^{-k t+C_1}=\pm \mathrm{e}^{C_1} \mathrm{e}^{-k t}=C \mathrm{e}^{-k t}$ (其中 $\left.C=\pm \mathrm{e}^{C_1}\right)$.
从而 $T=20+C \mathrm{e}^{-k t}$, 再将条件代入，得 $C=100-20=80$,
于是，所求规律为 $T=20+80 \mathrm{e}^{-k t}$.
注 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法 医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算 解决，等等.

`例` 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞 离开跳伞塔时 $(t=0)$ 速度为零，求降落伞下落速度与时间的关系.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212307598449.png)
解 设降落平下落速度为 $v(t)$, 降落伞下落时，同时 收到重力 $P$ 与阻力 $R$ 的作用(见图 4-3).
降落伞所受外力为 $F=m g-k v$.
根据牛顿第二定律: $F=m a$ ，得到 $v(t)$ 满足微分方程

$$
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v
$$

初始条件 $\left.v\right|_{t=0}=0$. 将方程(1)分离变量得

$$
\frac{\mathrm{d} v}{m g-k v}=\frac{\mathrm{d} t}{m}
$$

两边积分得

$$
\begin{aligned}
\int \frac{\mathrm{d} v}{m g-k v} & =\int \frac{\mathrm{d} t}{m}, \\
-\frac{1}{k} \ln (m g-k v) & =\frac{t}{m}+C_{1^{\prime}}
\end{aligned}
$$

即 $m g-k v=\mathrm{e}^{-k\left(\frac{t}{m}+c_1\right)}$ 或 $v=\frac{m g}{k}+C \mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}\left(C=-\frac{\mathrm{e}^{-k C_1}}{k}\right)$.
代入初始条件得 $C=-\frac{m g}{k}$ ，
故所求特解为 $v=\frac{m g}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}\right)$.

`例` 设河边点 $O$ 的正对岸为点 $A$ ，河宽 $O A=h$ ，两岸为平行直线，水流速度 为 $a$ ，有一鸭子从点 $A$ 游向点 $O$ ，设鸭子(在静水中)的游速为 $b(b>a)$ ，且鸭子游 动方向始终朝着点 $O$ ，求鸭子游过的迹线的方程.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230a1bf61f.png)

解 设水流速度为 $\vec{a}(|\vec{a}|=a)$, 鸭子游速为 $\vec{b}(|\vec{b}|=b)$, 则鸭子实际运动速度为 $\vec{v}=\vec{a}+\vec{b}$.
取坐标系如图 4-4 所示，设在时刻 $t$ 鸭子位 于点 $P(x, y)$, 则鸭子运动速度 $v=\left(v_x, v_y\right)=\left(x_t, y_t\right)$, 故有 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{x_t}{y_t}=\frac{v_x}{v_y}$. 现在 $\vec{a}=(a, 0)$, 而 $\vec{b}=b \mathrm{e}_{\overline{p o}}$, 其中 $\mathrm{e}_{\overline{P O}}$ 为与 $P O$ 同方向的单位向量.

由 $\overrightarrow{P O}=-(x, y)$, 故 $\mathrm{e}_{\overline{P O}}=\frac{-(x, y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$,
于是 $\vec{b}=-\frac{b}{\sqrt{x^2+y^2}}(x, y), \quad \vec{v}=\vec{a}+\vec{b}=\left(a-\frac{b x}{\sqrt{x^2+y^2}},-\frac{b y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$. 由此得微分方程 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{v_x}{v_y}=-\frac{a \sqrt{x^2+y^2}}{b y}+\frac{x}{y}$,
即

$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=-\frac{a}{b} \sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}+\frac{x}{y},
$$

初始条件为 $\left.x\right|_{y=h}=0$. 令 $\frac{x}{y}=u$, 则 $x=y u, \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=y \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y}+u$, 代入上面的方程，得

$$
y \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y}=-\frac{a}{b} \sqrt{u^2+1},
$$

分离变量得

$$
\frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{u^2+1}}=-\frac{a}{b y} \mathrm{~d} y
$$

积分得

$$
\ln \left(u+\sqrt{u^2+1}\right)=-\frac{a}{b}(\ln y+\ln C),
$$

故

$$
x=\frac{y}{2}\left[(C y)^{-\frac{a}{b}}-(C y)^{\frac{a}{b}}\right]=\frac{1}{2 C}\left[(C y)^{1-\frac{a}{b}}-(C y)^{1+\frac{a}{b}}\right] .
$$

将初始条件代入上式得 $C=\frac{1}{h}$, 故所求迹线方程为

$$
x=\frac{h}{2}\left[\left(\frac{y}{h}\right)^{1-\frac{a}{b}}-\left(\frac{y}{h}\right)^{1+\frac{a}{b}}\right], 0 \leq h \leq y .
$$

`例` 如果设某商品在时刻 $t$ 的售价为 $P$ ，社会对该商品的需求量和供给量 分别是 $P$ 的函数 $Q(P), S(P)$. 一般情况下，商品供给量 $S$ 是价格 $P$ 的单调递增函 数，商品需求量 $Q$ 是价格 $P$ 的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给 函数与需求函数分别为
S
其中 $a, b, \alpha, \beta$ 均为常数，且 $b>0, \beta>0$.
当供给量与需求量相等时，由(1)可得供求平衡时的价格:

$$
P_e=\frac{\alpha-a}{\beta+b}
$$

称 $P_e$ 为均衡价格.
一般地说，当某种商品供不应求，即 $S<Q$ 时，该商品价格要涨，当供大于求 即 $S>Q$ 时，该商品价格要落. 因此，假设 $t$ 时刻的价格 $P(t)$ 的变化率与超额需求 量 $Q-S$ 成正比，于是有方程

$$
\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} t}=k[Q(P)-S(P)] ，
$$

其中 $k>0$, 用来反映价格的调整速度.
将(2)代入方程，可得

$$
\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} t}=\lambda\left(P_e-P\right)
$$

其中常数 $\lambda=(b+\beta) k>0$, 方程(3)的通解为

$$
P(t)=P_e+C \mathrm{e}^{-\lambda t} \text {. }
$$

假设初始价格 $P(0)=P_0$, 代入上式，得 $C=P_0-P_e$, 于是上述价格调整模型的 解为

$$
P(t)=P_e+\left(P_0-P_e\right) \mathrm{e}^{-\lambda t} .
$$

由 $\lambda>0$ 知， $t \rightarrow+\infty$ 时， $P(t) \rightarrow P_e$. 说明随着时间不断推延，实际价格 $P(t)$ 将逐 渐趋近均衡价格 $P_e$.

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