科数网知识库
首页
目录
矩阵的初等变换
日期:
2023-01-02 07:48
查看:
72
次
例1 求解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2=3 \\ x_1-x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+x_2-x_3=-1 \end{array}\right. $$ $$ \begin{aligned} & \text { 解 线性方程组 } \\ & \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2=3, \\ x_1-x_2+x_3=4, \\ 2 x_1+x_2-x_3=-1 \end{array}\right. \\ & \text { 对应的增广矩阵 } \\ & \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right) \\ & \end{aligned} $$ 提示：增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。 下图中，通过方程的变形来理解矩阵的初等变换。    上面解方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换: (1) 交换两个方程; (2) 一个方程乘上一个非零数； (3) 一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上. 而从此例看到，对方程组实施上面三种变换，等价于对方程组的增广矩阵的行实施了类 似地三种变换，即交换两行、某一行乘以一个非零数（即某一行的每个元素都乘以同一个 数)、某一行的 $k$ 倍加到另一行上 (即某一行的每个元素都乘以数 $k$ 再加到另一行的对 应元素上）。 由此可见，对矩阵实施这些变换是十分必要的，为此，我们引入如下定义: 定义 1 下面三种矩阵的变换：称为矩阵的初等行变换  将上面定义中的 "行" 换成 “列" (记号由 " $\mathrm{r}$ " 换成 "c"，就得到了矩阵的初等列变 换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换. 显然，三种初等行 (列) 变换都是可逆的（简单的说，就是变换可以还原的），它们的 逆变换分别为: 变换 $r_i \leftrightarrow r$;的逆变换就是其本身; 变换 $k r_i$ 的逆变换是 $\frac{1}{k} r_i$ 变换 $r_j+k r_i$ 的逆变换是 $r_j+(-k) r_i$ 在例 1 中，线性方程组(3)、(4)、(5)对应的增广矩阵有一个共同特点，就是: 可画一 条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行 的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，  这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵. 对于最后一个矩阵，它的非零行的第一个非零元素全为 1 ，并且这些非零元素所在 的列的其余元素全为零， 这样的阶梯形矩阵，我们称为行最简形矩阵.  例3：试用矩阵的初等行变换将矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2\end{array}\right)$ 先化为行阶梯形矩阵，再进一步化 为行最简形矩阵. $$ \begin{aligned} & \left(\begin{array}{ccccc} 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2 \end{array}\right) \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2 \end{array}\right) \stackrel{\substack{r_2+(-1-1)_3 \\ 3_3+-2 r_1 \\ r_4+r_1}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\ 0 & 5 & -5 & 3 & 6 \end{array}\right) \\ & \underset{\frac{1}{2} r_1}{\stackrel{r_1+r_3}{\longrightarrow}}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_3+r_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ & \end{aligned} $$ $$ \stackrel{\frac{1}{2} r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_2+(-1)_3}{r_1+(-1)_3}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & -2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{r_1+(-1) r_2}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ 上述就是行最简形矩阵。 对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如， 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换  最后一个矩阵称为矩阵的标准形，写成分块矩阵的形式，则有 $\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_3 & \boldsymbol{o} \\ \boldsymbol{o} & \boldsymbol{o}\end{array}\right)$ 对于一般的矩阵，我们有下面的结论: 01任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵； 02 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵； 03 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 $F=\left(\begin{array}{ll}E_r & o \\ 0 & 0\end{array}\right)_{m, n}$, 04 其中 $r$ 为行阶梯形矩阵中非零行的行数. 定义 2 若矩阵 $A$ 经过有限次初等行 (列) 变换化为矩阵 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行 (列) 等价；若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价. 我们用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价，用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价，用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价. 注: 矩阵间的行 (列) 等价以及矩阵间的等价是一个等价关系， 即满足: 1 自反性：任意矩阵 $A$ 与自身等价； 2 对称性: 若矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价, 则矩阵 $B$ 与矩阵 $A$ 等价； 3 传递性: 若矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，矩阵 $B$ 与矩阵 $C$ 等价, 则矩阵 $A$ 与矩阵 $C$ 等价.
本系统使用
启明星知识库Kbase
搭建，最后更新于
2023-01-02 07:48
，如果您有意见或建议请点击
反馈
。