最后更新: 2025-02-10 08:12 查看: 425 次反馈刷题

空间向量与空间坐标系

## 空间向量
既有大小又有方向的物理量称为**向量**. 在数学上可用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向.
### 向量的表示
以 $M_1$ 为起点， $M_2$ 为终点的有向线段表示的向量记为 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ ，有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加一箭头）来表示（见 图 5-1)，如 $\boldsymbol{a}$ 或 $\vec{a}$.
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### 向量的模
向量的大小 (数学上有向线段的长度) 叫做向量的模，记作 $|\boldsymbol{a}| $ 或 $\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|$.

模为$1$的向量称为**单位向量**，记作 $\boldsymbol{e}$. 
模为$0$的向量称为**零向量**，记作 $\mathbf{0}$. 零向量的方向可以看作是任意方向.

### 向径
以原点 $O$ 为始点，向一点 $M$ 引向量 $\overrightarrow{O M}$ ，这个向量叫做点 $M$ 对于点 $O$ 的向径，记作 $r$ ，即 $r=\overrightarrow{O M}$.

### 自由向量
只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自由向量. 除非特别声明，数学里研究的都是自由向量，即起点可以自由移动的。

### 向量相等
方向相同，长度向量的两个向量称为相等向量。

## 空间直角坐标系
过空间一个定点 $O$ ，作三条互相垂直的数轴 (见图 5-2)，它们都以 $O$为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为 $x$ 轴 (横轴)、 $y$ 轴 (纵轴)、 $z$ 轴 (坚轴)、统称坐标轴. 其正向符合**右手规则** (见图 5-3). 这样的三条坐标轴就 组成了空间直角坐标系.

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三条坐标轴中的两条可确定一个平面称为坐标面: $x O y, y O z, z O x$ 平面，它们 把空间分成了八个卦限，在 $x O y$ 面上逆时针依次为 I、II、III、IV 卦限，
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对于空间一点 $M$ ，过点 $M$ 作三个平面分别垂直于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴，它们 与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的交点依次为 $P 、 Q$ 和 $R$ (见图 5-5)这三点在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上的坐标为 $x 、 y$ 和 $z$ ，则这组有序数 $x 、 y$ 和 $z$ 称为点 $M$ 的**坐标**， 记为 $M(x, y, z)$.

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反之，已知一有序数组 $x 、 y$ 和 $z$ ，我们可以在 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴上分别取 坐标为 $x$ 的点 $P$ ，坐标为 $y$ 的点 $Q$ ，坐标为 $z$ 的点 $R$ ，过三个点分别作垂直于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的三个平面，它们相交于一点 $M$ ，这 $M$ 即为以 $x 、 y$ 和 $z$ 为坐标 的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点 $M$ 与有序数组 $x 、 y$ 和 $z$ 的 对应关系，见图 5-6.

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我们先来看几个特殊点的坐标:
在 $x O y$ 平面上： $z=0$ ，故对应点的坐标为 $A(x, y, 0)$ ；
在 $y O z$ 平面上： $x=0$ ，故对应点的坐标为 $B(0, y, z)$ ；
在 $z O x$ 平面上： $y=0$ ，故对应点的坐标为 $C(x, 0, z)$.
在 $x$ 轴上: $y=z=0$ ，点的坐标为 $P(x, 0,0)$ ；
在 $y$ 轴上： $z=x=0$ ，点的坐标为 $Q(0, y, 0)$ ；
在 $z$ 轴上: $x=y=0$ ，点的坐标为 $R(0,0, z)$.

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## 空间坐标距离公式
设 $M_1\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 M_2\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为空间两个点 (见图 5-7)，通过 $M_1 、 M_2$ 各作 三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 $M_1 、 M_2$ 为对角线的长 方体，由此可得 $d=\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$.
即 $d^2=\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2$ ，

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## 例题
`例` 证明以点 $M_1(4,3,1) 、 M_2(7,1,2)$ 及 $M_3(5,2,3)$ 为顶点的三角形是等腰三角形.
证：
$$
 \begin{aligned}
\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right| & =\sqrt{(7-4)^2+(1-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{14} ， \\
\left|\overrightarrow{M_2 M_3}\right| & =\sqrt{(5-7)^2+(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{6} ， \\
\left|\overrightarrow{M_3 M_1}\right| & =\sqrt{(4-5)^2+(3-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{6} ，
\end{aligned}
$$

即 $\left|\overrightarrow{M_2 M_3}\right|=\left|\overrightarrow{M_3 M_1}\right|$ ， 因此该三角形是等腰三角形.

`例` 在 $z$ 轴上求与两点 $A(-4,3,1)$ 和 $B(3,5,-2)$ 等距离的点.
解 设所求点的坐标为 $M(0,0, z)$ ， 由 $|\overrightarrow{A M}|=|\overrightarrow{B M}|$ ， 即 $\sqrt{(0+4)^2+(0-1)^2+(z-7)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(5-0)^2+(-2-z)^2}$, 得 $z=\frac{14}{9}$ ， 因此所求点的坐标为 $M\left(0,0, \frac{14}{9}\right)$.

其他版本
【高中数学】空间两点间的距离【线性代数】向量单位化【线性代数】向量的内积、长度【线性代数】向量间距离【高中数学】左手坐标系与右手坐标系【高中数学】向量的单位化【高中数学】空间直角坐标系

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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