方阵的逆矩阵

日期: 2023-01-02 08:17 查看: 73 次

1. 逆矩阵的定义
   定 义 1
   设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，如果存在 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ 使得

$$
A B=B A=E \text {, }
$$

其中 $E$ 为 $n$ 阶单位方阵，则称矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵；否则称 $A$ 是不可逆的.
如果矩阵 $A$ 可逆，则 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的.
这是因为，若矩阵 $B 、 C$ 都满足 $A B=B A=E ， A C=C A=E$ ，于是 $C=C E=C(A B)=(C A) B=E B=B$.
所以 $A$ 的逆矩阵一定是唯一的. $A$ 的逆矩阵记为 $A^{-1}$.

2. 逆矩阵的性质
   1 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，并且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ；
   2 若矩阵 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 都可逆，则它们的乘积 $A_1 A_2 \cdots A_s$ 也可逆，并且 $\left(A_1 A_2 \cdots A_s\right)^{-1}=A_s^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1} ;$
   3 若 $A$ 可逆，则 $A^{\mathrm{T}}$ 也可逆，并且 $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$ ；
   4 若 $A$ 可逆并且数 $k \neq 0$ ，则 $k \boldsymbol{A}$ 也可逆，并且 $(k \boldsymbol{A})^{-1}=k^{-1} A^{-1}$.
   证明 我们用逆矩阵的定义验证性质(3)，其余性质留给读者自己验证.
   由 $A$ 可逆推出 $A^{-1}$ 存在，且 $A A^{-1}=A^{-1} A=E$ ，于是有 $\left(A A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(A^{-1} A\right)^{\mathrm{T}}=E^{\mathrm{T}}$.
   由矩阵转置的运算规律得: $\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}$. 所以 $\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$.
   例1 若矩阵 $A$ 有全零行 (全零列)，那么矩阵 $A$ 一定不可逆.
   证明 假设矩阵 $A$ 的第 $i$ 行是全零行，则对任何一个矩阵 $B$ ，矩阵 $A B$ 的第 $i$ 行总是全为零， 从而不存在矩阵 $B$ 使得 $A B=B A=E$ ，所以矩阵 $A$ 不可逆.
   类似可证，若矩阵 $A$ 有全零列，那么矩阵 $A$ 一定不可逆.
   例2
   设 $A^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明: $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$.
   证明 因为 $A^k=O$, 于是

$$
\begin{aligned}
(E-A)\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) & =E\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right)-A\left(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}\right) \\
& =E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E,
\end{aligned}
$$

$$
\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right)(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{E}-\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}\right) \boldsymbol{A}
$$

$$
=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}-A-A^2-\cdots-A^{k-1}-A^k=E-A^k=E,
$$

所以人 $E-A$ 可逆，且 $(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$.

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