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初等矩阵
日期:
2023-01-02 08:20
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定 义 2 对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的矩阵称为 $n$ 阶初等矩阵. 由于初等变换有三种, 对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类: (1)交换单位阵 $E$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行,或 交换 的第 $i$ 列和第 $j$ 列,得到的初等 矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i, j)$. 即  (2)用非零的数 $k$ 乘单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行或 第 $i$ 列得到的初等矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i(k))$ 即  (3)将单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第j行 (或将单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $j$ 列乘以 $k$ 加到 第 $i$ 列) 得到的矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i(k), j)$. 即  命题1 初等矩阵都是可逆的,并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵,即: $$ \boldsymbol{E}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j), \quad \boldsymbol{E}(i(k))^{-1}=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right), \quad \boldsymbol{E}(i(k), j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i(-k), j) $$ 证明 直接计算得: $$ \boldsymbol{E}(i, j) \boldsymbol{E}(i, j)=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{E}(i(k)) \boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right)=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right) \boldsymbol{E}(i(k))=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{E}(i(k), j) \boldsymbol{E}(i(-k), j)=\boldsymbol{E}(i(-k), j) \boldsymbol{E}(i(k), j)=\boldsymbol{E} . $$ 所以 $$ \boldsymbol{E}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j), \quad \boldsymbol{E}(i(k))^{-1}=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right), \quad \boldsymbol{E}(i(k), j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i(-k), j) . $$ 命题2 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵,对 $\boldsymbol{A}$ 施行一次初等行变换,相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵;对 $A$ 施行一次初等列变换,相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵. 证明 只需理解初等变换的意义,然后用矩阵乘法直接验证即可. 具体验证留给读者. 例3 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个三阶方阵,试求一个 3 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ,使得 $$ \boldsymbol{P A}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31}+k a_{11} & a_{32}+k a_{12} & a_{33}+k a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right) . $$ 解:矩阵 $P A$ 可看成是先对矩阵 $A=\left(a_v\right)$ 实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换, 再实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 2 行的变换所得到的. 这相当于先后用初等矩阵 $E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) 、 E((k), 2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ ,即 $P A=E(1(k), 2) E(2,3) A ,$ 所以 $$ P=E(1(k), 2) E(2,3)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ k & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 另外,矩阵 $P A$ 也可看成是先对矩阵 $A=\left(a_j\right)$ 实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 3 行的变换,再实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换所得到的. 即 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{E}(2,3) \boldsymbol{E}(1(k), 3) \boldsymbol{A}$ , 所以
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