最后更新: 2025-02-10 08:57 查看: 1122 次反馈同步训练

向量的平行四边形法则与向量的坐标运算

## 向量的平行四边形法则
以共起点向量 $a 、 b$ 为平行四边形相邻两边，以 $a$ 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 $a+b$ ，见图 5-14. 以 $a$ 向量的终点为 起点， $b$ 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 见图 5-15，记为 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$.

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>向量高中版请查看 [高中向量平行四边形法则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)

设 $\lambda$ 是一个数，向量 $a$ 与数 $\lambda$ 的乘积 $\lambda \boldsymbol{a}$ 规定为
当 $\lambda>0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 同向；
当 $\lambda=0$ 时， $\lambda \boldsymbol{a}=0$ 是零向量；
当 $\lambda<0$ 时， $\lambda a$ 表示一向量，其大小 $|\lambda a|=-\lambda|a|$ ，方向与 $a$ 反向（见图 5-16）.
特别地，当 $\lambda=-1$ 时， $(-1) \boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}$.

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由数乘的定义很容易得到以下结论 (见图 5-17)：
（1）如果两个向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$ ( $\lambda$ 是数)，则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ； 反之，若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$ ，则 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a}$.

（2）若记 $\mathrm{e}_a$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，则 ${e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ (证明留作习题).

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## 向量单位化
模长为1的向量为单位向量，利用 ${e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 可以很容易单位化向量。

`例`若 $v=(1,-2,2,0)$, 找出和 $v$ 方向一致的单位向量 $u$.
解：首先计算向量 $v$ 的长度

$$
\|v\|^2=v \cdot v=(1)^2+(-2)^2+(2)^2+(0)^2=9,\|v\|=\sqrt{9}=3
$$

对 $v$ 乘 $\frac{1}{\| v \|}$ 得到

$$
e=\frac{1}{\|v\|} v=\frac{1}{3} v=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
2 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1 / 3 \\
-2 / 3 \\
2 / 3 \\
0
\end{array}\right]
$$

## 向量的坐标运算
设 $P_1 、 P_2$ 为 $u$ 轴上坐标为 $u_1, u_2$ 的任意两点，又 $\boldsymbol{e}$ 为与 $u$ 轴正向一致 的单位向量 (见图 5-18)，则有 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$.
证 当 $u_2-u_1>0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 同向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_2-u_1$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) e$ ；
当 $u_2-u_1=0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}=\mathbf{0} ，\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}=\mathbf{0}$ ，因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}$ ；
当 $u_2-u_1<0$ 时， $\overrightarrow{P_1 P_2}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 反向，故 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}(\lambda>0)$ ，由 $\lambda=\left|\overrightarrow{P_1 P_2}\right|=u_1-u_2$ ， 因此 $\overrightarrow{P_1 P_2}=-\lambda \boldsymbol{e}=-\left(u_1-u_2\right) \boldsymbol{e}=\left(u_2-u_1\right) \boldsymbol{e}^{.}$

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### 推论
设空间有一向量 $\boldsymbol{a}=\vec{M}_1 M_2$ ， 其中 $M\left(x_1, y_1, z_1\right) 、 M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ， 由加法定理可知 $a$ 可分解为三个 分别平行于 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的 向量 $a_x 、 a_y$ 和 $a_z$ ，它们称为 $a$ 在 $X$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的三个分向量. 显 然 $a=a_x+a_y+a_z$. 见图 5-19.

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$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_x \boldsymbol{a}_x=x_2-x_1=a_x, \\
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_y \boldsymbol{a}_y=y_2-y_1=a_y, \\
& \operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}=\operatorname{Pr} \mathrm{j}_z \boldsymbol{a}_z=z_2-z_1=a_z,
\end{aligned}
$$

若用 $i 、 j$ 和 $k$ 分别表示与 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴正向一致的三个单位向量称它 们为基本单位向量，则有 $\boldsymbol{a}_x=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i} ， \boldsymbol{a}_y=\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j} ， \boldsymbol{a}_z=\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}$ ，因此

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_x+\boldsymbol{a}_y+\boldsymbol{a}_z=\left(x_2-x_1\right) \boldsymbol{i}+\left(y_2-y_1\right) \boldsymbol{j}+\left(z_2-z_1\right) \boldsymbol{k}=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k} ，
$$

称上式为向量 $a$ 按基本单位向量的分解式或 $a$ 的**向量表示式**.

一方面，从向量 $\boldsymbol{a}$ 可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ ， 另一方面从 $a_x ， a_y$ 和 $a_z$ 可以唯一定出向量 $\boldsymbol{a}$ ，这样有序数组 $a_x ， a_y ， a_z$ 就 与向量 $\boldsymbol{a}$ 一一对应，于是将 $a_x ， a_y ， a_z$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记为 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right)$ 也称向量 $a$ 的**坐标表示式**.

以 $M\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 为始点， $M\left(x_2, y_2, z_2\right)$ 为终点的向量记为

$$
\frac{M_1 M_2}{M_2}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) \text {, }
$$

特别向径 $r=\overrightarrow{O M}=(x, y, z$ ) (见图 5-20).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212304cab139.png)
对于向量的运算也可化为对坐标的数量运算:
设向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_x, a_y, a_z\right) ， \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)$ ，

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} & =\left(a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k}\right) \pm\left(b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol

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