初等矩阵

日期: 2023-01-02 08:20 查看: 87 次

定 义 2
对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的矩阵称为 $n$ 阶初等矩阵.
由于初等变换有三种, 对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的初等矩阵也有三类:
(1)交换单位阵 $E$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行，或 交换 的第 $i$ 列和第 $j$ 列，得到的初等 矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i, j)$. 即

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（2）用非零的数 $k$ 乘单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行或 第 $i$ 列得到的初等矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i(k))$ 即

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（3）将单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第j行 (或将单位阵 $\boldsymbol{E}$ 的第 $j$ 列乘以 $k$ 加到 第 $i$ 列) 得到的矩阵记为 $\boldsymbol{E}(i(k), j)$. 即

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命题1
初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍为同一类型的初等矩阵，即:

$$
\boldsymbol{E}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j), \quad \boldsymbol{E}(i(k))^{-1}=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right), \quad \boldsymbol{E}(i(k), j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i(-k), j)
$$

证明 直接计算得:

$$
\boldsymbol{E}(i, j) \boldsymbol{E}(i, j)=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{E}(i(k)) \boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right)=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right) \boldsymbol{E}(i(k))=\boldsymbol{E}, \boldsymbol{E}(i(k), j) \boldsymbol{E}(i(-k), j)=\boldsymbol{E}(i(-k), j) \boldsymbol{E}(i(k), j)=\boldsymbol{E} .
$$

所以

$$
\boldsymbol{E}(i, j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i, j), \quad \boldsymbol{E}(i(k))^{-1}=\boldsymbol{E}\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right), \quad \boldsymbol{E}(i(k), j)^{-1}=\boldsymbol{E}(i(-k), j) .
$$

命题2
设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $\boldsymbol{A}$ 施行一次初等行变换，相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵.
证明 只需理解初等变换的意义，然后用矩阵乘法直接验证即可.
具体验证留给读者.

例3 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个三阶方阵，试求一个 3 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$$
\boldsymbol{P A}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+k a_{11} & a_{32}+k a_{12} & a_{33}+k a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right) .
$$

解：矩阵 $P A$ 可看成是先对矩阵 $A=\left(a_v\right)$ 实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换，
再实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 2 行的变换所得到的.
这相当于先后用初等矩阵 $E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) 、 E((k), 2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，即 $P A=E(1(k), 2) E(2,3) A ，$
所以

$$
P=E(1(k), 2) E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
k & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
k & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$

另外，矩阵 $P A$ 也可看成是先对矩阵 $A=\left(a_j\right)$ 实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 3 行的变换，再实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换所得到的.
即 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{E}(2,3) \boldsymbol{E}(1(k), 3) \boldsymbol{A}$ ，
所以

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