最后更新: 2025-05-03 09:22 查看: 671 次反馈同步训练

方向角与方向角余弦

## 方向角与方向角余弦
设 $\boldsymbol{a}$ 为任意一个向量，又设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 为与三坐标轴正向之间的夹角 $(0 \leq \alpha, \beta, \gamma<\pi)$ ，如图 5-22 所示， $\alpha ， \beta ， \gamma$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向角. 由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有

$$
a_x=|\boldsymbol{a}| \cos \alpha, \quad a_y=|\boldsymbol{a}| \cos \beta ， \quad a_z=|\boldsymbol{a}| \cos \gamma,
$$

其中 $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的**方向余弦**，通常用它表示向量的方向.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212301d2a95f.png)

由模的定义，可知向量 $a$ 的模为

$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} .
$$

或 
$\cos \alpha=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}} ...①, \cos \beta=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}...②, \cos \gamma=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}...③$,

①②③平方相加可得

$$
\boxed{
\cos ^2 \alpha+\cos ^2 \beta+\cos ^2 \gamma=1 ，
}
$$

即任一向量的方向余弦的平方和为 1 .

$$
\boldsymbol{e}_a=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{a}|}\left(a_x, a_y, a_z\right)=\frac{1}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}\left(a_x, a_y, a_z\right)=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) .
$$

>要查看高中版请点击 [空间向量方向角](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2479)

`例` 设两已知点 $M_1(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_2(1,3,0)$ ，分别写出向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} 、 \overrightarrow{M_2 M_1}$ 的 坐标表达式和向表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、单位向量.
解 向量 $\overrightarrow{M_1 M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2})=-\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-\sqrt{2} \boldsymbol{k}$ ，

$$
\overrightarrow{M_2 M_1}=-\overrightarrow{M_1 M_2}=-(-1,1,-\sqrt{2})=(1,-1, \sqrt{2})=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+\sqrt{2} \boldsymbol{k}
$$

模 $\left|\overrightarrow{M_1 M_2}\right|=\left|\overrightarrow{M_2 M_1}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}=2$ ，
$\overrightarrow{M_1 M_2}$ 的方向余弦为

$$
\cos \alpha_1=-\frac{1}{2}, \quad \cos \beta_1=\frac{1}{2}, \quad \cos \gamma_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}
$$

对应的方向角为

$$
\alpha_1=\frac{2}{3} \pi ， \quad \beta_1=\frac{1}{3} \pi ， \gamma_1=\frac{3}{4} \

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