初等矩阵与逆矩阵的应用

日期: 2023-01-02 08:28 查看: 65 次

定理 1 下面命题互相等价:
1 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆；
2 方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ；
(3) 方阵 $A$ 可表为一些初等方阵的乘积.
证明 为了证明的方便，我们采取 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$ 的方式来证明.

(1) $\Rightarrow(2):$
方阵 $A$ 经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵 $R$.
这相当于存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s ，$ 使得 $P_s \cdots P_2 P_1 A=R$.
由于初等矩阵都可逆，若 $A$ 可逆，则 $P_z \cdots P_2 P_1 A=R$ 可逆，从而行最简形矩阵 $R$ 没有全零行，
这迫使 $R=E$ ，即 $P_s \cdots P_2 P_1 A=E$ ，
所以方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$.

(2) $\Rightarrow(3)$ :
若方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ，则存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_z$ ，使得 $P_2 \cdots P_2 P_1 A=E$.
由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记 $P_1, P_2, \cdots, P_{:}$的逆矩阵分别为 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_2^{-1}$ ，
于是 $\quad P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\left(P_s \cdots P_2 P_1 A\right)=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1} E$,
即 $A=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_{:}^{-1}$. 也就是说， $A$ 可表为初等方阵 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_{:}^{-1}$ 的乘积.

(3) $\Rightarrow$ (1):
设方阵 $A=P_1 P_2 \cdots P_z$ ，其中 $P_1, P_2, \cdots, P_1$ 均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，
于是它们的乘积 $A=P_1 P_2 \cdots P_s$ 也可逆.

由定理 1 的证明可知，
若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则存在一个可逆阵 $P=P_2 \cdots P_2 P_1$ ，使得 $P A=E$.
于是， $\quad A^{-1}=\left(P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\right)^{-1}=P_s \cdots P_2 P_1=P$.
构造一个分块矩阵 $(A \mid E)$ ， 做分块矩阵的乘法:

$$
P(A \mid E)=(P A \mid P E)=(E \mid P)=\left(E \mid A^{-1}\right),
$$

上式等价于对分块矩阵 $(A \mid E)$ 实施了若干次初等行变换，当 $A$ 变成 $E$ 时， $E$ 就变成了 $A^{-1}$.
判别矩阵 $A$ 是否可逆，并在可逆时求 $A^{-1}$ 的具体步骤为:
01 首先构造分块矩阵 $(A \mid E)$
02 对矩阵 $(A \mid E)$ 实施初等行变换，将 $(A \mid E)$ 化为行最简形矩阵；
03 如果 $A$ 不能行等价于 $E$ ，则矩阵 $A$ 不可逆；若 $A$ 能行等价于 $E$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $\boldsymbol{E}$ 就行等价于 $\boldsymbol{A}^{-1}$.

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利用逆矩阵还可以求解矩阵方程 $A X=B 、 X A=B$ 和 $A X B=C$.
若矩阵 $A$ 可逆，则有

$$
A^{-1}(A X)=A^{-1} B \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X=A^{-1} B \Rightarrow X=A^{-1} B .
$$

$$
(\mathrm{X} A) A^{-1}=B A^{-1} \Rightarrow X\left(A A^{-1}\right)=B A^{-1} \Rightarrow X=B A^{-1} .
$$

若矩阵 $A 、 B$ 可逆均可逆，则有

$$
A^{-1}(A X B) B^{-1}=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X\left(B B^{-1}\right)=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow X=A^{-1} C B^{-1} .
$$

也可以用初等行变换的方法解矩阵方程.

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