方阵可逆的充要条件

日期: 2023-01-02 10:20 查看: 131 次

定理2 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$.
证明 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ，即 $A$ 可通过初等行变换化为单位阵 $E$. 一定存在一个数 $\lambda \neq 0$ ，使得 $|A|=\lambda|E|$. 而 $|E|=1$ ，因此 $|A|=\lambda \neq 0$.
反之，设 $|A| \neq 0$. 由于 $n$ 阶方阵 $A$ 可通过初等行变换化为行最简形矩阵 $R$ ， 因此存在一个数 $\lambda \neq 0$, 使得 $|A|=\lambda|R|$. 由 $|A| \neq 0$ 可得 $|R| \neq 0$ ，因此 $R$ 中没有全零行，从而 $R=E$.
也就是说，方阵 $A$ 行等价于单位阵 $E$ ，所以方阵 $A$ 可逆.

例8 判断下列矩阵是否可逆:
(1) $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$;
(2) $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$.
(1)因为 $\quad|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right|=4 \neq 0$, 所以矩阵 $A$ 可逆.
(2) 因为 $|\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=0$, 所以矩阵 $B$ 不可逆.

分块矩阵 $D=\left(\begin{array}{ll}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是 $A 、 B$ 均可逆.
特别地，设 $A_1, A_2, \cdots, A_s$ 分别是 $n_i(i=1,2, \cdots, s)$ 阶方阵，
则分块对角阵 $D=\left(\begin{array}{cccc}A_1 & o & \cdots & o \\ o & A_2 & \cdots & o \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ o & o & \cdots & A_s\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是 $A_i(i=1,2, \cdots, s)$ 均可逆.
且在 $A_i(i=1,2, \cdots, s)$ 均可逆的条件下，由

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010273435e9.png)
其中 $E_i(i=1,2, \cdots, s)$ 是 $n_i(i=1,2, \cdots, s)$ 阶单位矩阵，可知

$$
D^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_1^{-1} & o & \cdots & o \\
o & A_2^{-1} & \cdots & o \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
o & o & \cdots & A_s^{-1}
\end{array}\right) .
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102df2c678.png)

解第一个方程组如下 (解第二个方程组可得同样的结果) :
由于 $A 、 B$ 均可逆，
$B X_3=O$ 等号两端同时左乘 $B^{-1}$ 得 $B^{-1} B X_3=B^{-1} O$ ，即 $X_3=O$ ；
$B X_4=E_2$ 等号两端同时左乘 $B^{-1}$ 得 $B^{-1} B X_4=B^{-1} E_2$ ，即 $X_4=B^{-1}$ ；
将 $X_3=O$ 代入 $A X_1+C X_3=E_1$ 得 $A X_1=E_1$ ，等号两端同时左乘 $A^{-1}$ 得 $A^{-1} A X_1=A^{-1} E_1$ ， 即 $X_1=A^{-1}$ ；
将 $X_4=B^{-1}$ 代入 $A X_2+C X_4=O$ 得 $A X_2=-C B^{-1}$ ，等号两端同时左乘 $A^{-1}$ 得 $A^{-1} A X_2=-A^{-1} C B^{-1}$ ，即 $X_2=-A^{-1} C B^{-1}$.
因此， $D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ o & B^{-1}\end{array}\right)$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102d7a9617.png)
(3) 若 $A$ 不是可逆方阵，则存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s$ ，使得 $P_s \cdots P_2 P_1 A=R$ ， 其中 $R$ 是 $A$ 的行最简形矩阵，且 $R$ 的最后一行是全零行.
由于初等矩阵的逆矩阵仍旧是初等矩阵，于是

$$
|\boldsymbol{A B}|=\left|\boldsymbol{P}_1^{-1} \boldsymbol{P}_2^{-1} \cdots \boldsymbol{P}_s^{-1} \boldsymbol{R B}\right|=\left|\boldsymbol{P}_1^{-1}\right| \cdot\left|\boldsymbol{P}_2^{-1} \cdots \boldsymbol{P}_s^{-1} \boldsymbol{R B}\right|=\left|\boldsymbol{P}_1^{-1}\right| \cdot\left|\boldsymbol{P}_2^{-1}\right| \cdot\left|\boldsymbol{P}_3^{-1} \cdots \boldsymbol{P}_s^{-1} \boldsymbol{R B}\right|=\cdots=\left|\boldsymbol{P}_1^{-1}\right| \cdot\left|\boldsymbol{P}_2^{-1}\right| \cdots\left|\boldsymbol{P}_s^{-1}\right| \cdot|\boldsymbol{R B}| .
$$

由于 $R B$ 的最后一行也是全零行，从而 $|R B|=0$ ，因此 $|A B|=0$.
另一方面，由 $A$ 不是可逆方阵可知 $|A|=0$ ，因此，当 $A$ 不是可逆方阵时， $|A B|=|A| \cdot|B|$ 也成立. 于是 $|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|=0$.
对于 $n$ 阶方阵 $A 、 B$ ，一般来说 $A B \neq B A$ ，但总有 $|A B|=|A| \cdot|B|$.
推论4
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $A B=E$ （或者 $B A=E$ )，则 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可 逆，且 $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}$.
证明 由 $A B=E$ 得

$$
1=|\boldsymbol{E}|=|\boldsymbol{A B}|=|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}|,
$$

于是 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，从而方阵 $A$ 可逆.
例10
设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2=2 E$ ，证明矩阵 $A+E$ 可逆，并求 $(A+E)^{-1}$.
证明 因为

$$
A^2=2 E \Rightarrow A^2-E=E \Rightarrow(A-E)(A+E)=E \text {, }
$$

所以矩阵 $A+E$ 可逆，且 $(A+E)^{-1}=A-E$.

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