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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
空间曲线及其方程
最后更新:
2023-10-01 11:28
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空间曲线及其方程
1、空间曲线的一般方程 空间曲线可看作是两个相交曲面的交线,即若设二个相交曲面的方程分别是 $F(x, y, z)=0$ 和 $G(x, y, z)=0$ ,则 $$ \left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right. $$ 就表示其交线 $C$ 的方程 (见图 5-65). ![图片](/uploads/2022-12/image_2022123098b9199.png) 显然,曲线 $C$ 上的点的坐标一定同时满足两曲面的方程: $F(x, y, z)=0$ , $G(x, y, z)=0$ ; 反之不是曲线 $C$ 上的点的坐标一定不能同时满足两曲面的方程. 则 $$ \left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right. $$ 就称为曲线 $C$ 的一般方程. 例 7 方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1, \\ 2 x+3 z=6\end{array}\right.$ 表示怎样的曲线? 解 $x^2+y^2=1$ 表示圆柱面, $2 x+3 z=6$ 表示 平面,方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=1, \\ 2 x+3 z=6 \end{array}\right. \text { 的交线为椭圆 (见图 5-66). } $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_202212306ba294d.png) 例 8 方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \\ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4}\end{array}\right.$ 表示怎样的曲线? 解 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 表示上半球面, $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4}$ 表示圆柱面, 球面与柱面的交线如图 5-67 中曲线 $C$, ![图片](/uploads/2022-12/image_20221230409fa5b.png) 注 表示空间一条曲线的方程并不唯一,即如曲线 $C$ 方程可表示为 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 也可用和它等价的任何两个方程所联列的方程组来替代它. 如 $O z$ 轴所在直线可认为是平面 $x=0$ 与 $y=0$ 的交线,即 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0,\end{array}\right.$ 也可认为是平面 $x+y=0$ 与 $x-y=0$ 的交线,即 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0, \\ x-y=0 .\end{array}\right.$
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