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向量组线性相关性的一些重要结论
日期:
2023-01-02 13:31
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**定理1** 向量组 $\alpha_1, \alpha_2 \mathrm{~L}, \alpha_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是存在某一个向量 $\alpha_j(1 \leq j \leq m)$ 可由其余向 量线性表示. 证明 充分性：若存在某一个向量 $\alpha_j(1 \leq j \leq m)$ 可由其余向量线性表示， 即存在一组数 $k_1, \mathrm{~L}, k_{j-1}, k_{j+1}, \mathrm{~L}, k_m$ ，使得 $$ \boldsymbol{\alpha}_j=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mathrm{L}+k_{j-1} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+k_{j+1} \boldsymbol{\alpha}_{j+1}+\mathrm{L}+k_m \boldsymbol{\alpha}_m, $$ 移项得: $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mathrm{L}+k_{j-1} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+\boldsymbol{\alpha}_j+k_{j+1} \boldsymbol{\alpha}_{j+1}+\mathrm{L}+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 显然这组数 $k_1, \mathrm{~L}, k_{j-1}, 1, k_{j+1}, \mathrm{~L}, k_m$ 不全为零，所以向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \mathrm{~L}, \boldsymbol{\alpha}_m(m \geq 2)$ 线性相关. 必要性： 如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m(m \geq 2)$ 线性相关，则存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，使得 $$ k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} . $$ 在 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 中不妨设 $k_j \neq 0$ ，则对上式移项得 $$ k_j \alpha_j=k_1 \alpha_1+\cdots+k_{j-1} \alpha_{j-1}+k_{j+1} \alpha_{j+1}+\cdots+k_m \alpha_m, $$ 从而有: $$ \boldsymbol{\alpha}_j=\frac{k_1}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+\frac{k_{j-1}}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+\frac{k_{j+1}}{k_j} \alpha_{j+1}+\cdots+\frac{k_m}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_m, $$ 即 $\alpha_j$ 可由其余向量线性表示. 推论 1 两个向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例. 设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) ， \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 9\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 7\end{array}\right)$ ，则 $\alpha_2=3 \alpha_1$ ，因此 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关. 而 $\alpha_3$ 与 $\alpha_1$ 的分量不对应成比例， $\alpha_3$ 与 $\alpha_2$ 的分量也不对应成比例， 从而 $\alpha_1, \alpha_3$ 线性无关， $\alpha_2, \alpha_3$ 也线性无. 给定一个向量组后，从这个向量组中抽取一部分向量构成一个新的向量组，这个新的 向量组称为原向量组的部分组. 设有 $n$ 维向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 不妨设其部分组记为 $B: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r(1 \leq r<m)$. 推论 2 若部分组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 也线性相关. 证明 若部分组 $B$ 线性相关，则存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ ，使得 $$ k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots k_r \boldsymbol{\alpha}_r=\mathbf{0} . $$ 于是有 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots k_r \boldsymbol{\alpha}_r+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_{r+1}+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_{r+2}+\cdots+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 显然， $k_1, k_2, \cdots, k_r, 0, \cdots, 0$ 也是一组不全为零的数，因此向量组 $A$ 也线性相关. 推论 2 可以说成：部分相关，则整体相关. 推论 3 若向量组 $A$ 线性无关，则其部分组 $B$ 也线性无关. 证明 反证法: 若部分组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 线性相关，与已知条件矛盾. 所以部分组 $B$ 也线性无关. 推论 3 也可说成：整体无关，则部分必无关. 推论 4 设 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当 $n<m$ 时该向量组一定线性相关.特别 地， $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关. 证明 记矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)$ ，当 $n<m$ 时，齐次线性方程组 $A X=0$ 中方程的个数小于末知量的个数， 因此一定有非零解， 所以向量组 $A$ 线性相关.   例7 已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，证明: 向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示. 证明 因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，于是部分组 $\alpha_2, \alpha_3$ 也线性无关. 而向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关， 于是向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即存在一组数 $k_2, k_3$ ，使 $$ \alpha_4=k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3, $$ 从而有 $$ \boldsymbol{\alpha}_4=0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3, $$ 即: 向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示. 定理 3 设有两个 $n$ 维向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$, 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_i$ 线性表示，并且 $s>t$ ， 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关. 证明 要证明 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，只需证明方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}$ 有非零解即可. 因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 线性表示， 所以存在一个矩阵 $K_{t \times s}$ ，使得 $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t \times s} . $$ 于是方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}$ 等价于 $$ x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t s}\left(\begin{array}{c} x_t \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s \end{array}\right)=\mathbf{0} . $$ 齐次线性方程组 $\boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s\end{array}\right)=\mathbf{0}$ 中方程的个数小于末知量的个数 $S$ ，从而必有非零解， 即一定存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使得 $\boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s\end{array}\right)=\mathbf{0}$. 因此 $$ \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)=\mathbf{0} . $$ $$ \text { 即方程组 } x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0} \text { 有非零解 } k_1, k_2, \cdots, k_s \text { ，从而 } \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s \text { 线性相关. } $$ 推论 5 如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_i$ 线性表示，并且向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性 无关，则 $s \leq t$. 推论 6 如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_i$ 均线性无关，并且这两个向量组等价 则 $s=t$.
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