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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
参数方程与螺旋线
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更新:
2025-02-11 13:40
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参数方程与螺旋线
参数方程;螺距;螺旋线
## 空间曲线的参数方程 如果说曲线作为两曲面的交线而形成一般方程，那么空间曲线也可以将其看 作空间点移动的轨迹而形成曲线的参数方程. 即有 $$ \left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t), \\ z=\omega(t), \end{array}\right. $$ 其中 $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 是连续的. 显然，随着 $t$ 的变化， $\varphi(t) ， \psi(t) ， \omega(t)$ 也在变化，而 $(x, y, z)$ 对应的点 $M$ 的 轨迹就形成曲线. `例`若空间一点 $M$ 在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 上以角 速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，同时又以线速度 $v$ 沿平行于 $z$ 轴 的正方向上升（其中 $\omega 、 v$ 是常数)，则点 $M$ 构成的图 形叫做**螺旋线** (见图 5-68）. 试建立其参数方程. 解 取时间 $t$ 为参数，动点从 $A$ 点出发 经过 $t$ 时间运动到 $M$ 点. $M$ 在 $x O y$ 面的投影 $N(x, y, 0)$, $$ \left\{\begin{array}{c} x=a \cos \omega t \\ y=a \sin \omega t \\ z=v t \end{array}\right. $$ 螺旋线的参数方程还可以写成 $$
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