最后更新: 2025-02-11 13:43 查看: 640 次反馈刷题

空间曲线在坐标面上的投影

## 空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线 $C$ 方程为 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right. ...(4)$
消去 $z$ 可得方程 $H(x, y)=0 ...(5)$ ，
如果点 $M(x, y, z)$ 满足 (4)，则其中的 $x ， y$ 就必定满足 (5)，而 (5) 表示 一个母线平行于 $z$ 轴的柱面，因此曲线 $C$ 在柱面 (5) 上.
以曲线 $C$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴 (即垂直于 $x O y$ 面) 的柱面叫做曲线 $C$ 关 于 $x O y$ 面的投影柱面，而该投影柱面与 $x O y$ 面的交线叫做空间曲线 $C$ 在 (坐标面) $x O y$ 面上的投影曲线. (简称投影) . 因此曲线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为

$$
\left\{\begin{array}{c}
H(x, y)=0, \\
z=0 .
\end{array}\right.
$$

同理，在 (4) 式中消去 $x$ 或 $y$ ，可得平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的投影柱面 $R(y, z)=0$ 或 $T(y, z)=0$ ，
就得到相应的投影曲线为 $\left\{\begin{array}{c}R(y, z)=0, \\ x=0,\end{array}\right.$ 或投影曲线为 $\left\{\begin{array}{c}T(x, z)=0, \\ y=0 .\end{array}\right.$

`例`求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ z=\frac{1}{2}\end{array}\right.$ 在坐标面上的投影曲线方程.
解 (1)消去变量 $z$ 后得 $x^2+y^2=\frac{3}{4}$, 在 $x O y$ 面上的投影为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=\frac{3}{4}, \\
z=0 .
\end{array}\right.
$$

(2) 因为曲线在平面 $z=\frac{1}{2}$ 上，所以在 $x O z$ 面上的投影为线段

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=\frac{1}{2}, \quad|x| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} ; \\
y=0 .
\end{array}\right.
$$

(3) 同理在 $y O z$ 面上的投影也为线段

$$
\left\{\begin{array}{l}
z=\frac{1}{2}, \\
x=0,
\end{array} \quad|y| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} .\right.
$$

`例` 求抛物面 $y^2+z^2=x$ 与平面 $x+2 y-z=0$ 的截线在三个坐标面上的投 影曲线方程.
解 截线方程为 $\left\{\begin{array}{l}y^2+z^2=x, \\ x+2 y-z=0\end{array}\right.$.
(1) 消去 $z$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}x^2+5 y^2+4 x y-x=0 \text {, } \\ z=0 .\end{array}\right.$
(2) 消去 $y$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}x^2+5 z^2-2 x z-4 x=0, \\ y=0 .\end{array}\right.$
(3) 消去 $x$ 得投影 $\left\{\begin{array}{l}y^2+z^2+2 y-z=0, \\ x=0 .\end{array}\right.$

`例`求上半球面 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 和雉面 $z=\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)}$ 的交线在 $x O y$ 面上的投影曲线.
解 半球面和雉面的交线为

$$
C:\left\{\begin{array}{l}
z=\sqrt{4-x^2-y^2}, \\
z=\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)},
\end{array}\right.
$$

消去 $z$ 得投影柱面 $x^2+y^2=1$, 则交线 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1 \text {, } \\ z=0 .\end{array}\right.$
参考下图
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