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矩阵的秩
日期:
2023-01-02 13:43
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**矩阵的秩** 在 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列 $(k \leq m, k \leq n)$ ，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元 素，不改变它们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。 $m \times n$ 矩阵 $A$ 中的 $k$ 阶子式共有 $C_m^k \cdot C_n^k$ 个. 设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D_1$ 且所有 $r+1$ 阶子式 (如果存在的话) 全等于 0 ，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ 并规定： 零矩阵的秩等于 0. 由行列式按行（列）展开的性质可知，若 $A$ 的所有 $r+1$ 阶子式全等于零，则所有高于 $r+1$ 阶的子式也全为 0 ，因此， $r$ 阶非零子式 $D$ 被称为最高阶非零子式， 而矩阵 $A$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})$ 就是非零子式的最高阶数. 由此可得，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中有某个 $k$ 阶子式不为 0 ，则 $R(\boldsymbol{A}) \geq k$ 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中所有 $k$ 阶子式全为 0 ，则 $R(\boldsymbol{A})<k$. 对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 因为 $A$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|\boldsymbol{A}|$ ， 所以，当 $|A| \neq 0$ 时， $R(A)=n$ ， 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时， $R(\boldsymbol{A})<n$ 从而可逆矩阵的秩等于它的阶数，而不可逆矩阵的秩小于它 的阶数. 因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵.   
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2023-01-02 13:43
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