最后更新: 2025-04-01 18:37 查看: 751 次反馈刷题

领域、区域与聚点

## 领域的概念

> 提示：《复变函数》和《二元微分学》 联系非常紧密很多概念是互通的，具体请访问 复变函数里的[领域](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=835)

在一元函数微积分，所讨论的均是单变量函数，在现实生活中， 这样的情形则是少数，而大量的情况往往是多变量的变化，即一个变量需要依赖于多个因素 (多个变量) 这种情况反映到数学上来即为多元函数问题. 由此而来的是多元函数的微分和积分问题.

例如在一元函数中，如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，当且仅当 $\lim _{x \rightarrow x_0+} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0-} f(x)=A$ ，即当 $x \rightarrow x_0$ 时 $f(x)$ 的极限存在，只需要左极限和 右极限同时存在即可. 但对于二元函数来说，极限存在的要求更复杂.

本节将在一元函数的基础上，讨论多元函数的极限与连续，我们将以二元函数为主要讨论对象. 首先我们把直线上的邻域和区间的概念推广到平面区域上去，然后再探讨平面区域上的二元函数的极限和连续的概念.

## 平面上的集合
定义 $\mathbf{R}^2=\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}$ 表示 $x O y$ 坐标平面，
设 $M_1\left(x_1, y_1\right)$ 与 $M_2\left(x_2, y_2\right)$ 为 $x O y$ 平面上的两点，
 ![图片](/uploads/2024-10/953315.jpg){width=300px}

则 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$ 表示 $M_1\left(x_1, y_1\right)$ 与 $M_2\left(x_2, y_2\right)$ 的距离.

坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作
$E=\{(x, y) \mid(x, y)$ 具有某种性质 $\}$ ，

设 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是 $x O y$ 面上的一点， $\delta$ 是一个正数， $x O y$ 面上所有与点 $P_0$ 的距离 小于 $\delta$ 的点的集合，称为点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，即

$$
U\left(P_0, \delta\right)=\left\{P \| P_0 P \mid<\delta\right\} ，
$$

或 $U\left(P_0, \delta\right)=\left\{(x, y) \| \sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2} \mid<\delta\right\}$.
这是一个以 $P_0$ 为圆心， $\delta$ 为半径的圆的内部 (见图 6-1)， 所以 $P_0$ 又称为邻域的中心， $\delta$ 叫做邻域的半径；
同样可以定义平面上的去心邻域，即

$$
\stackrel{0}{U}\left(P_0, \delta\right)=\left\{(x, y) \| 0<\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2} \mid<\delta\right\} .
$$

在讨论问题时，如果不强调邻域的半径，点 $P_0$ 的邻域可以
简记为 $U\left(P_0\right)$.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123136c37a7.png)

## 区域的概念

> 提示：《复变函数》和《二元微分学》 联系非常紧密很多概念是互通的，具体请访问 复变函数里的[区域](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=836)

设 $D$ 是平面上的点集，如果 $D$ 中的点满足下面两个条件，则称 $D$ 为**开区域**.
(1) 对于 $D$ 中的任意一点 $P$ ，如果都能找到它的一个邻域 (见图 6-2)，使得邻域能够包含在点集 $D$ 中 (这样的点 $P$ 称为点集的**内点**）.
(2)对于 $D$ 中的任意两点，都能用包含在 $D$ 中的折线连接起来，即折线上 的点都在 $D$ 中，见图 6-3.
开区域简称区域.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123153cafd8.png)
设 $D$ 是平面区域， $P$ 是平面上的任意一点. 若 $P$ 的任何的一个邻域中，既含有 $D$ 中的点,也有不是 $D$ 中的点,那么 $P$ 称为 $D$ 的边界点（见图 6-4），所 有 边 界 点的集合称为 $D$ 的边界. 区域和它的边界一起构成的集合，称为**闭区域**.
区域 (或闭区域) 分为**有界区域**和**无界区域**.
一个区域 $D$ 如果能够包含在一个原点为中心的圆内， 则称为有界的，否则就是无界区域.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231fe9c14e.png)

如图 6-5，平面点集 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 4\right\}$ 是一个有界的闭区域，边界是 两个圆所对应的曲线: $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=1\right\} \cup\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=4\right\}$ ，边界曲线属于闭 区域 $D$.

图 6-6 所表示的平面点集 $D=\{(x, y) \mid x+y>0\}$ 是无界 (开) 区域. 边界是直 线 $y=-x$ ，边界不属于区域 $D$.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ff50574.png)

##  聚点
设$E$ 是实数集 $ \mathbb{R} $中的一个点集，$ x_0$ 是空间中的一个点。如果 $ x_0$ 的任意邻域内都包含 $ E $ 中不同于 $ x_0$ 的点，则称 $ x_0 $ 是 $ E $ 的一个**聚点**。

用数学语言表达：
$$
\forall \epsilon > 0, \quad (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) \cap (E \setminus \{x_0\}) 
= \emptyset
$$
其中，$ (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon) $ 是 $x_0$的一个邻域。

例如 $y=\frac{1}{x}$ 在$x=0$处就是一个聚点。

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