向量空间的基、维数与坐标

日期: 2023-01-02 16:30 查看: 84 次

定义 4 向量空间 $V$ 中的 $r$ 个向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 如果满足下列条件:
$1 \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关；
2 向量空间 $V$ 中任一向量都可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示，则称 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 为向量空间 $V$ 的一个基.
数 $r$ 称为向量空间的维数，记为 $\operatorname{dim}(V)=r$ ，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间.
向量空间 $V$ 如果只含有一个零向量，则这个向量空间没有基，它的维数为 0 .

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命题 1
如果 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一线性表示.
证明 由基的定义可知， $V$ 中任一向量 $\beta$ 均可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示.
下面证明表示式是唯一的.
设存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 及 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_r$ ，
使得 $\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha}$. 以及 $\boldsymbol{\beta}=\mu_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mu_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\mu_r \boldsymbol{\alpha}_r$,
两式相减得 $\quad \mathbf{0}=\left(\lambda_1-\mu_1\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(\lambda_2-\mu_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\left(\lambda_r-\mu_r\right) \boldsymbol{\alpha}_r$.
由基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关可得 $\lambda_1=\mu_1, \lambda_2=\mu_2, \cdots, \lambda_r=\mu_r$,
因此向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 唯一的线性表示.
定义 5 设 $\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha$, 是向量空间 $V$ 的一个基，如果 $V$ 中任一向量 $\beta$ 可唯一线性表示为

$$
\boldsymbol{\beta}=\lambda_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\lambda_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\lambda_r \boldsymbol{\alpha},
$$

则称常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 为向量 $\beta$ 在基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 下的坐标.
取 $\mathbf{R}^n$ 的一个基为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ ，则 $\mathbf{R}^n$ 中任一向量

$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)
$$

在基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 下的坐标就是向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的 $n$ 个分量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$.

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