最后更新: 2025-04-30 15:12 查看: 615 次反馈刷题

偏导数的几何意义

## 一元导数
在一元函数里，函数$y=f(x)$在$x_0$的导数的几何意义就是该曲线在该$x_0$点切线的斜率。而一阶微分的意义是用 **切线的长度近似曲线的长度**。 而偏导数的意义就是求曲面上一点，分别对$x$轴和$y$轴的斜率，而二阶全微分的意义就是**切平面近似替代曲面**
 ![**图片](/uploads/2025-01/dcc24b.svg){width=200px}

## 二元偏导数的几何意义
对于二元数$z=f(x,y)$必须牢记，他表示的是一个曲面，为了查看这个曲面，需要放在立体空间里（如下图）。

![图片](/uploads/2025-04/d32ffb.jpg){width=500px}

所谓偏导数，相当于是求曲面上一点的切线。但是，过曲面上一点有无数条切线，需取哪个切线呢？（参考上图，过P点，曲面有无数条切线）

答案是：**我们只求沿平行X坐标轴和Y坐标轴的切线**。

对$x$求导时，相当于表示曲线对$x$轴的夹角的斜率，而对$y$求导，相当于表示曲线对$y$轴夹角的斜率。

> 注意：**切平面反应的是改点“局部”的特征**。比如上图，我们能想象$P$点的切平面和曲面相交形成两个双曲线，没关系，因为切面是那一点的特征。

## 二元偏导数求法

对X轴求偏导的几何意义
（1）空间有一个曲面
 ![图片](/uploads/2025-01/325a93.jpg){width=300px}

（2）想象一下拿一把刀沿平行于$x$轴砍一刀（只有沿平行X轴时，Y值不变），
 ![图片](/uploads/2025-01/e920b7.jpg){width=300px}

（3）刀痕和曲面相交，形成一个曲线
 ![图片](/uploads/2025-01/ae7d83.jpg){width=300px}

（4）在曲线上取一点，做曲线的切线，就是函数对$x$轴的偏导数。
 ![图片](/uploads/2025-01/0fef0f.jpg){width=300px}

(5) 从上面求偏导数可以看到，核心点是，再对$x$求偏导时，把$y$看成常数，然后按照一元函数求导法则进行处理即可。

下图更形象的展示了对$x$求偏导的几何意义， **根据一元导数的定义，对$X$轴的偏导，相当于是求对$x$轴的斜率。**

![图片](/uploads/2022-12/image_202212313903799.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial x }$ 
解：通过上面分析，当对$x$求偏导数时，因为是沿平行于$x$轴进行切割，所以$y$值是固定的，换句话说，需要把$y$看成常数，得
$$
 \frac{\partial z}{\partial x}=y e^{x y}+2 xy
 $$

##  对Y轴求偏导
同样，对$y$求偏导时，把$x$看成常数，参考下图 偏导数 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 就是曲面被平面 $x=x_0$ 所截得的曲线在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T_y$ 对 $y$ 轴正向的斜率(图 6-9).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212314dc5be4.png){width=400px}

`例` 已知 $z =e^{x y}+x^2 y$ 求 $\frac{\partial z }{\partial y }$ 
解：通过上面分析，当对$y$求偏导数时，因为是沿平行于$y$轴进行切割，所以$x$值是固定的，换句话说，需要把$x$看成常数，得
$$
  \frac{\partial z}{\partial y}=x e^{x y}+x^2
 $$
 
 
## 一元微分与二元微分的几何意义
对于一元微分，如果函数是**光滑并且连续的**，如下图所示，设 $P_0$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当 $P$ 沿曲线逐渐趋向于点 $P_0$时，并且割线 $P P_0$ 的极限位置 $P_0 T$ 存在，则曲线弧$\widehat{P_0 P}$可以近似用$P_0P$替代
 ![图片](/uploads/2025-01/333b65.svg){width=400px}

> **即一元微分的意义是：我们用切线近似替代曲线弧长。**

写成数学语言就是
$$
\begin{aligned}
&\underbrace{f\left(x_0+\Delta x\right)}_{\text {曲线 }}=\underbrace{f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x}_{\text {切线 }}+\underbrace{o(\Delta x)}_{\text {代表非常小的值 }}
\end{aligned}
$$

在一元曲线里，我们使用**切线替代了曲线**，而在二元曲线里，我们自然想用**切平面替代曲面**

### 切平面与法线
在一个曲面上，取一个极小的面积元，我们将通过极限思维研究这个面积元。
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)
 
 把上面这个极小的面积元放大无数倍，如下：
 红色表示**原始曲面**，蓝色曲面是该点的**切平面**，而深蓝色箭头表示切平面的**法线**。
 
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px}
 
可以证明[详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)，如果曲线是光滑、连续的，那么，过曲线上固定的这一点的所有切线都在一个平面内，这个平面叫做切平面。

下面的问题是：我们能否用切平面替代原始曲面呢？如下图，在曲面上取一点$f(x_0,y_0)$, 并沿$x,y$再取极小的一段$\Delta x, \Delta y$
可以求的曲面与切平面的近似值，即

$$
\underbrace{f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)}_{\text {曲面 }}=\underbrace{f\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y}_{\text {切平面 }}+\underbrace{o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)}_{\text {代表非常小的值 }}
$$

上面出现了 $o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$

这是以此点的邻域是半径为$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$的圆，通俗解释就是我以$f(x_0,y_0)$ 为圆心，以$r$为半径，在这个范围内**任意**走极小的距离，他的原始平面都可以用近似切平面代替。我们称呼具有这个属性的曲面是“**可微曲面**”，这是后面要介绍的全微分

![图片](/uploads/2025-01/8b5132.jpg){width=500px}

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