基变换与坐标变换

日期: 2023-01-02 16:31 查看: 84 次

定义 6 设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，存在系数矩阵 $P_{n x n}$ ，使得

$$
\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, }
$$

矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵.
显然，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵.

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记 $P=A^{-1} B$ ， 则矩阵 $P$ 就是从基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵.

$$
(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})=\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -2 & 3 & 1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 2
\end{array}\right),
$$

因此，

$$
\boldsymbol{P}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right)
$$

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