方阵的相似对角化

日期: 2023-01-02 18:56 查看: 64 次

把矩阵 $\boldsymbol{P}$ 列分块为 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)$, 由 $P^{-1} A P=\Lambda$ 得 $A P=P \Lambda$ ，即

$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & & \\
& \lambda_2 & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)=\left(\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \lambda_2 \boldsymbol{p}_2, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n\right)
$$

于是有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_i=\lambda_i \boldsymbol{p}_i \quad(i=1,2, \cdots, n)$.
可见 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值，而 $P$ 的列向量 $p_i$ 就是 $A$ 对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量.
反之，如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 恰好有 $n$ 个特征向量，则这 $n$ 个特征向量即可构成矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \Lambda$. 并且这 $n$ 个特征向量必定是线性无关的，从而 $P$ 可逆，因此有 $P^{-1} A P=\Lambda$.
由上面的讨论即有:
定理2
$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似(即 $A$ 能对角化)的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征 向量.
推论
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角阵相似.

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