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方向导数

提示：在阅读本文前，需要熟悉[向量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) 以及高中[向量知识](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)

##  方向导数
偏导数反映的是函数沿**坐标轴**方向的变化率，但在实际问题中，只考虑沿坐标轴方向的变化率是不够的. 例如，热空气要向冷的地方流动，气象学需要考虑大气温度、气压沿着某个方向的变化率，因此我们需要研究函数沿**任意指定方向**的变化率问题.

> 方向导数就是反映函数在一点处任意一条特定方向的变化率.

方向导数重点是“**方向**”二字。给的方向不同，得出的结论也不会相同，考虑一种最简单情况：小明沿着马路从西往东以 $1m/s$ 速度运行，如果我以向东为正，此时小明的速度为$+1m/s$ ，如果我以向西为正，小明的速度为$-1m/s$， 如果我以向南或者向北为正，那么小明的速度为$0m/s$ ，可以看到我指定的方向不同，小明具有不同的速度。

所以，在方向导数里，首先要确定“方向”。

## 如何确定方向导数的方向？
因为二元函数需要放在三维空间里认识，现在，假设在三维空间里有一个$f(x,y)$生成的二维曲面(如下图**绿色图形**)，
  ![图片](/uploads/2025-02/f62551.svg)

想象一下，像切西瓜一样任意切一刀(上图**灰蓝色平面**)，刀面与曲线有会产生一条切痕(上图**黄色曲线**)，这个切痕投影到$XOY$平面就是一条直线（上图**红色直线**）， 我们能够想象，如果我在$XOY$平面内转动红色直线，那么黄色的切痕也会跟着变动，因此切痕的投影就能确定方向导数的方向。

### 平面视图
现在把上面的说法转换为数学语言：在$XOY$平面上任取一点$P_0(x_0,y_0)$，由该点可以做出无数条射线，这些射线就可以决定方向导数的方向。上面投影的视图，可以用下图表示：

![图片](/uploads/2025-03/7b49f1.jpg)

上面曲线在三维空间里，而**定义域**在底部$XOY$二维平面上，想象一下，你站在A点沿着$h$走了极小的距离$t$，因为距离是矢量，根据平行四边形法则，他可以分解为$x$轴距离和$y$轴距离，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_0+t \cos \alpha \\
y=y_0+t \cos \beta
\end{array}(t \geq 0)\right.
$$

对应上面函数，函数值就会从$f(x_0,y_0)$ 变成$f(x_0+t cos \alpha, y_0+t cos \beta)$

这样，我们就可以给出方向导数的定义

## 二元方向导数定义
设 $z=f(x, y)$ 在一点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域内有定义，又设 $l$ 是给定的一个方向，其与$x$和$y$轴夹角为$\alpha, \beta$, 则其方向余弦为 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ ．若极限

$$
\lim _{t \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t}
$$

存在，则我们称此极限值为函数 $z=f(x, y)$ 在 $P_0$ 点沿方向 $l$ 的方向导数，记作 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 或 $\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$ 。

现在，我们对方向导数的意义作进一步的解释．
过 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 点沿给定的方向 $l$ 作一条直线 $L$ ．这时，这条直线 $L$ 的参数方程为 ([参数方程教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1329))

$$
\begin{aligned}
& x=x_0+t \cos \alpha, \quad(-\infty<t<+\infty), \\
& y=y_0+t \cos \beta
\end{aligned} \quad 
$$

其中 $t$ 为参数．对任意的 $t$ ，相应的点 $\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)$ 记为 $P_t$ ，那么，上述定义中的极限便可写成

$$
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(P_t\right)-f\left(P_0\right)}{t}
$$

另外，我们应该注意到 $t$ 实际上是 $P_0$ 到 $P_t$ 的有向距离：当 $\overrightarrow{P_0 P_t}$ 与 $l$ 方向一致时，$t>0$ 并且 $P_0$ 到 $P_t$ 的距离就是 $t$ ；而当 $\overrightarrow{P_0 P_t}$ 与 $l$ 方向相反时，$t<0$并且 $P_0$ 到 $P_t$ 的距离是 $-t$（见下图）。

![图片](/uploads/2025-02/46260f.jpg){width=300px}
 
总之，我们看到定义中的极限实际上就是函数 $z=f(x, y)$ 沿着给定的方向 $l$ 的变化率．

> 方向导数是偏导数概念的推广．当 $\alpha=0$ ， $\beta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$ ；而当 $\alpha=\frac{\pi}{2}, \beta=0$ 时，$\frac{\partial f}{\partial l}=$ 这从定义中看得十分清楚。

下面的定理给出了方向导数存在的一个充分条件及计算公式．

## 方向导数的计算

定理 若函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，则 $f(x, y)$ 在该点沿任一方向 $l$ 的方向导数均存在，且

$$
\boxed{
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
}
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 为 $l$ 的方向余弦。

一个题外话，这里$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ 为什么上面用 $cos \beta$ 而不用 $sin \alpha$呢？其实也可以用 $sin \alpha$ ，但是使用  $cos \beta$ 更方便方向导数向多维度推广，比如空间一个向量与$x,y,z$的夹角，就是使用 $ cos \alpha, cos \beta, cos \gamma$ 来定义，详见[方向角与方向余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353)

上面这个定理告诉我们，在函数可微的条件下方向导数可以通过偏导数计算。

证明 由假设，$f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微分，故有

$$
f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)
$$

但点 $\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)$ 在以 $\left(x_0, y_0\right)$ 为始点的射线 $l$ 上时，应有 $\Delta x=t \cos \alpha, \Delta y=t \cos \beta$ ， $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=t$ ．所以

$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
$$

这就证明了方向导数存在，且其值为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta .
$$

##  如何理解方向导数里的加法
上面介绍了方向导数，这里简单回顾一下，假设有一个函数 $f=(x,y,z)$ ,他是空间一个函数,你可以把$f$想象为一个电磁场，这个场里面有一个粒子，这个电磁场在每个方向上都给粒子一个力，让粒子运动，而粒子最终的速度是所有力合成后的结果。

那么方向导数怎么求呢？

> **假设要求粒子沿着 $l$ 方向的速率。基本思想是：把各个速度都投影到 $l$ 上，然后直接相加即可。这里相当于进行了二次投影，首先，把速度$V$，沿着$x,y,z$ 进行投影，得到$v_x,v_y,v_z$ ， 接着，再把 $v_x,v_y,v_z$沿着 $l$ 进行投影，最后再把这3个分量相加就是沿着 $l$ 的速度**

因为三维空间不好画图，我们以二维的方向导数为例，对曲线$f$ 求$x,y$的偏导，其实就是求沿着$x,y$方向的速度, 这里记为$F_x, F_y$。 参考下图，现在任意指定一个方向$l$， 只要把$F_x, F_y$ 的速度分量投影到$l$ 得分量$F_x \cos \alpha $ 和 $F_y \cos \beta $ 相加即可。三维的思路和这一样。

![图片](/uploads/2025-01/ce4585.jpg)

所以，二维平面方向导数的公式为
$$
\boxed{
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
}
$$

## 方向导数计算的通俗解释
上面的方向导数的证明摘自同济版《高等数学下》第八版，估计你看完了仍然是一头雾水，为什么可微的情况下就能有上市计算？

因为你的走向任意性，这个极小距离的就是定义域上一个以$A$为圆心，半径为
$r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$的圆

![图片](/uploads/2025-01/8b5132.jpg){width=400px}

当你走的距离极小，此时函数$f(x,y)$到$f(x+x_0,y+y_0)$的增量可以使用切平面替代，参考下图

> **这就像在一维导数里，我们用直线代替光滑曲线一样，在二维导数里，我们使用切平面替代光滑的曲面。**

![图片](/uploads/2025-04/4623c9.jpg)

参考下图，当使用**切平面替换曲面**后，此时函数的变化值，就可以表示为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta
$$

![图片](/uploads/2025-03/e52619.jpg)

事实上，我们也可以通过公式理解，即
$$
\underbrace{f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)}_{\text {曲面 }}=\underbrace{f\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y} \Delta y}_{\text {切平面 }}+\underbrace{o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)}_{\text {代表非常小的值 }}
$$

这样
$$
f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right) .
$$

$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta .
$$

这就证明了方向导数存在，且其值为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta .
$$

## 例题

`例` 求函数 $f(x, y)=x^3 y$ 在点 $(1,2)$ 处沿从点$P_0(1,2)$ 到点 $P(1+\sqrt{3}, 3)$ 的方向的方向导数。

解 首先计算 $f$ 在 $(1,2)$ 点的偏导数：

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,2)}=\left.3 x^2 y\right|_{(1,2)}=6,\left.\quad \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,2)}=1
$$

其次计算给定方向的方向余弦．知道了平面上两个点坐标，$P_0 P$ 根据向量运算性质，直接用两个坐标相减即可，即$\overrightarrow{P_0 P}=(1+\sqrt{3}-1, 3-2)=(\sqrt{3}, 1)$

![图片](/uploads/2025-02/4588f9.jpg){width=300px}

因为 $\overrightarrow{P_0 P}=(\sqrt{3}, 1)$ ， 所以向量的模长为 $|P_0 P|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =2$ , 所以 $\overrightarrow{P_0 P}$ 的方向余弦 $(\cos \alpha, \cos \beta)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 详见[向量夹角](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1344)。

于是，我们得到沿着 $l =\overrightarrow{P_0 P}$ 的方向导数为

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l }\right|_{(1,2)}=6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+1 \cdot \frac{1}{2}=3 \sqrt{3}+\frac{1}{2}
$$

根据定义或根据定理，很容易看出，当两个方向 $l _1$ 与 $l _2$ 恰好方向相反时，函数 $f(x, y)$ 沿这两个方向的方向导数相差一个负号，也即 $\frac{\partial f}{\partial l _1}=-\frac{\partial f}{\partial l _2}$ ．

`例` 设函数 $z=x^2-x y+y^2$ 在点 $M_0(1,1)$ 处沿与 $O x$ 轴正向成 $\frac{\pi}{4}$ 的方向 $\vec{l}$ 上 的方向导数.
解 $\frac{\partial z}{\partial x}=2 x-y ， \frac{\partial z}{\partial y}=2 y-x$ ，此两个偏导数在 $\mathbf{R}^2$ 上连续，函数 $z$ 可微， 因此

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,1)}=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} \cdot \cos \frac{\pi}{4}+\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} \cdot \sin \frac{\pi}{4}=1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \text {. }
$$

`例` 设函数 $z=x y+\sin (x+2 y)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,2)$ 上的方向导 数.
解 $\frac{\partial z}{\partial x}=y+\cos (x+2 y) ， \frac{\partial z}{\partial y}=2 \cos (x+2 y)$ ，此两个偏导数在 $\mathbf{R}^2$ 上连续， 因 此函数 $z$ 可微，与 $\vec{l}$ 同方向的单位向量为 $\overrightarrow{\mathrm{e}}_l=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) $ 因 此

$$
\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(0,0)}=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,0)} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}:=1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{5} .
$$

## 三元方向导数
 
对于三元函数 $u=f(x, y, z)$ ，我们可类似地定义它在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$处沿方向 $l$ 的方向导数。若 $l$ 方向的方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 且 $f$ 在 $P_0$点可微，则有计算公式

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{P_0}= & f_x\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \beta +f_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \cos \gamma
\end{aligned}
}
$$

唯一要注意空间向量与$x,y,z$轴有三个夹角(参考下图)。
 
  ![图片](/uploads/2025-02/f9cdc2.jpg){width=400px}
 
 > 三元方向导数的通俗解释，给定一个速度v，先按照x,y,z 进行投影，分级为$v_x,v_y,v_z$ ，现在任给一个方向l，要求他的速度，只要把$v_x,v_y,v_z$ 再分布往l上投影，最后详见即可。

`例`设函数 $u=x y+y z+z x$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向 $l$ 上的方向导数，其中 $l$ 的 方向角分别为 $60^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$.
解 $\frac{\partial u}{\partial x}=y+z, \frac{\partial u}{\partial y}=x+z, \frac{\partial u}{\partial z}=y+x$, 此两个偏导数在 $\mathbf{R}^3$ 上连续， 因此函数可微， 与 $l$ 同方向的单位向量为 $e_l=\left(\cos 60^{\circ}, \cos 45^{\circ}, \cos 60^{\circ}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，因此

$$
\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,1,2)}=\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,1,2)} \cdot \frac{1}{2}+\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,1,2)} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,1,2)} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3 \sqrt{2}) .
$$

`例` 设函数 $u=x \sin y z$ 在点 $(1,3,0)$ 处沿方向 $\boldsymbol{l}=(1,2,-1)$ 上的方向导数.
解 $\frac{\partial u}{\partial x}=\sin y z, \frac{\partial u}{\partial y}=x z \cos y z, \frac{\partial u}{\partial z}=x y \cos y z$, 此两个偏导数在 $\mathbf{R}^3$ 上连续， 因此函数可微，与 $l$ 同方向的单位向量为

$$
\mathrm{e}_l=\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}\right), \quad\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)_{(1,3,0)}=(0,0,3) ，
$$

因此

$$
\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,3,0)}=0 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}}+0 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}}+3 \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{2} .
$$

`例`设 $u=x y+y z+z x$ ，又设方向 $l$ 的坐标为 $(1,3,1)$ ．求函数 $u$ 在 $(1,1,1)$ 点的方向导数 $\frac{\partial u}{\partial l }$ ．

解 先求 $l$ 的方向余弦．根据定义

$$
(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{ l }{| l |}=\left(\frac{1}{\sqrt{11}}, \frac{3}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}}\right) .
$$

这样，我们得到

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial l} & =\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,1,1)} \cdot \cos \alpha+\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,1,1)} \cdot \cos \beta+\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,1,1)} \cdot \cos \gamma \\
& =2 \cdot \frac{1}{\sqrt{11}}+2 \cdot \frac{3}{\sqrt{11}}+2 \cdot \frac{1}{\sqrt{11}}=\frac{10}{\sqrt{11}}
\end{aligned}
$$

`例` 设 $u=x y-y^2 z+z e ^x$ ，计算 $u$ 在点 $(1,0,2)$ 沿方向 $l =(2,1,-1)$ 的方向导数。

解 先求出 $u$ 在该点的三个偏导数值：

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(y+z e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=2 e \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,0,2)}=\left.(x-2 y z)\right|_{(1,0,2)}=1 \\
& \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{(1,0,2)}=\left.\left(-y^2+e^x\right)\right|_{(1,0,2)}=e
\end{aligned}
$$

然后求出给定方向的方向余弦为 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{6}}, \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{6}}, \cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{6}}$ ，代入公式就得到

$$
\frac{\partial u}{\partial l}(1,0,2)=2 e \frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}-e \frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(3 e+1)
$$

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