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方阵的相似对角化
日期:
2023-01-02 18:56
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把矩阵 $\boldsymbol{P}$ 列分块为 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)$, 由 $P^{-1} A P=\Lambda$ 得 $A P=P \Lambda$ ,即 $$ \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)=\left(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n\right)\left(\begin{array}{ccc} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{array}\right)=\left(\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \lambda_2 \boldsymbol{p}_2, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n\right) $$ 于是有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_i=\lambda_i \boldsymbol{p}_i \quad(i=1,2, \cdots, n)$. 可见 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值,而 $P$ 的列向量 $p_i$ 就是 $A$ 对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量. 反之,如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 恰好有 $n$ 个特征向量,则这 $n$ 个特征向量即可构成矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P} \Lambda$. 并且这 $n$ 个特征向量必定是线性无关的,从而 $P$ 可逆,因此有 $P^{-1} A P=\Lambda$. 由上面的讨论即有: 定理2 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似(即 $A$ 能对角化)的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征 向量. 推论 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等,则 $A$ 与对角阵相似.  
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2023-01-02 18:56
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