最后更新: 2025-04-05 08:12 查看: 690 次反馈刷题

向量场

## 数量场与向量场
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，同时有大小和方向的函数。
在上一节，介绍了标值函数[数量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2681) ，本节介绍向量场。

> 因为在高中已经学过向量，下面内容先总结高中向量核心知识点。

## 向量
具有大小，有用方向的量叫做向量。
对于向量的处理，其实并没有更好的解决办法，主要测量就是按照坐标轴分解。对于向量的处理，其实并没有更好的方法，最主要就是进行分解，分解为$x,y,z$坐标轴，然后按照数量场进行处理。

### 向量空间的分解
想象三维空间里的力，如下图：力$\boldsymbol{F}$ 可以沿着$X,Y,Z$坐标轴进行分解。
设力$F$与$x$轴夹角为$\alpha$（图中未画出）, 与$y$轴夹角为$\beta$（图中未画出）,  与$z$轴夹角为$\gamma$ ,同时用$i,j,k$ 分别表示 $x,y,z$轴的单位
 ![图片](/uploads/2025-01/20a58d.svg){width=400px}
 
 这样，就可以得到力$F$在三维空间上的分解为：
 
 $$
 \boxed{
 {F}= F cos \alpha i + F \cos \beta j +F cos \gamma k
 }
 $$
 这就是空间向量的**代数式表示**方法。
 
 另外一种方法是，写成**坐标形式**，写成尖括号形式
 $$
 \boxed{
 {F}= < F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k >
 }
 $$
 
有时候也直接写成括号
 
 $$
 \boxed{
 {F}= ( F cos \alpha, F \cos \beta ,F cos \gamma k )
 }
 $$
 
 这三种仅是一种约定的表示向量方法。

## 向量垂直
 在高中学过，两个向量$A=(x,y)$ 和$B=(m,n)$ 可以用坐标表示他们的点积，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1342) ,并且得出向量的点积定义为对应坐标相乘后相加，即
 $$
 C=A \cdot B= xm+yn  ...(1)
$$

又已知两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ ，它们的夹角为 $\theta$ ，点积的计算为2个向量的模乘以他们之间的夹角

$$
a \cdot b=|a||b| \cos \theta ...(2)
$$
其几何意义为一个向量在另外一个向量上的投影（参考下图）详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)。
![](../uploads/2022-10/1fb332.jpg)

因为(1)(2) 虽然表达方式不同，但是意义一样，因此（1）（2）相等。

即：
$xm+yn= |a||b| \cos \theta  $

现在考虑一种特殊的情况，量向量垂直，此时 $\theta =\frac{\pi}{2}$ ,所以 $ \cos \theta=0$ ,由此得到一个重要结论：

> **两个向量垂直时，对应坐标乘积的和为零。反之也成立，如果两个向量对应坐标乘积为零，则两向量垂直。**

## 向量平行
 已知 $\vec{a} 、 \vec{b}(\vec{b} \neq \overrightarrow{0})$ 平行的充要条件是存在一个实数 $\lambda$ 使等式,详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)
 
$\vec{a}=\lambda \vec{b}$ 成立.

两向量平行通俗解释就是对应向量成比例，例如 $\vec{a}=(1,3,4)$ 而 $\vec{b}=(2,6,8)$ 可以看到后者“系数”是前者的2倍，所以两向量平行。

> **两个向量平行时，对应坐标成比例**

## 单位向量
 高中学过向量，把模长为1的向量定义为单位向量。 给定三维空间一个坐标，通过模可以获得他的单位向量，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1598)
  假若 $ x$ 是 $R ^3$ 中的向量，且 $ x= (5,8,3)$ ， 那么 $\| x\|$ 长度就是空间长方体对角形的长度，也就是$||x||=\sqrt{5^2+8^2+3^2}=\sqrt{98}$
  ![图片](/uploads/2024-11/d3b64a.jpg){width=300px}

这样，单位向量$u=(\dfrac{5}{\sqrt{98}} ,\dfrac{8}{\sqrt{98}} \dfrac{3}{\sqrt{98}} )$ 这就相当于对一个向量进行了单位化。

> **单位向量就是用各个分量除以模长**

## 切向量得单位向量
现在考虑空间一个向量 $\vec{r}=<x,y,z>$ 沿着弧线运动，其运动切线方法有一个速度$\vec{u}$ 现在我们看看怎么求$\vec{u}$

![图片](/uploads/2025-01/f9e156.jpg)
 
 从图中可以看到,$dr$微分就是各个分量的微分， 
 $d\vec{r}=<dx,dy,dz>$
 但是，我们需要求的是**单位向量**$\vec{u}$, 根据上面知识，可以得到他的模为
 
 $|d \vec{r}|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=ds$
 
 在$\Delta t$ 时间内，从 $r$ 运动到 $r + \Delta r $ ，当时间极端时，距离的改变量 $\vec{dr}$ 近似等于弧长$ds$ 所以 因此，得到
 $$
 \stackrel{\rightharpoonup}{u}=\frac{d \stackrel{\rightharpoonup}{r}}{|d \stackrel{\rightharpoonup}{r}|}=<\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}>
 $$
 
 这里的$ds$可以认为是“微弧”长

因为根据定义，单位向量模长为1，所以
$$
|\vec{u}|=\sqrt{\left(\frac{d x}{d s}\right)^2+\left(\frac{d y}{d s}\right)^2+\left(\frac{d z}{d s}\right)^2}=1
$$

具体推导见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=394)

## 直线的方向向量
对于直线 $y=k x+b$ 来说， 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：
具体推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=725)

> **斜率为 $k$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．**

## 直线的法向量
一般直线方程 $A x+B y+C=0(A, B$ 不同时为 0$)$ ． 则图象上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标均满足方程，得

$$
\begin{gathered}
A x_0+B y_0+C=0, \\
A x+B y+C=0,
\end{gathered}
$$

以上两个等式相减得

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 ....②
$$

改成向量形式是

$$
(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...③
$$

由此可得到：
> **直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。**

具体推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=690)

## 向量场
若在空间或空间的某一区域中的每一点都定义一向量，则这些向量的总合定义一向量场，也就是依赖于 $x, y, z$ 的向量函数

$$
R (x, y, z)=(X(x, y, z), \quad Y(x, y, z), \quad Z(x, y, z)) .
$$

如果不另外声明，我们假定 $X, Y, Z$ 都是有连续偏导的。有时，以 $\boldsymbol{r}$  表示 $(x, y, z)$ ，则得向量 $\boldsymbol{r}$ 为变量的向量函数，即 
$\boldsymbol{R ( r )}= \boldsymbol{R} (x, y, z)$ 。

## 数量场转为向量场
对于数量场 $f=f(x,y,z)$ ，分别对$x,y,z$ 求偏导，这样得到三个分量，这3个分量可以组成一个向量，称为数量场$f$生成的对应向量场

如果向量场用$\boldsymbol{R}$ 表示，则
$\boldsymbol{R}= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) $ 。

上面的记发过于麻烦，为此我们引入一个记法：$grad$ 用他来表示梯度。即
$$
\operatorname{grad} f= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

上面的的记法还是过于麻烦，为此引入一个简写：$\nabla$ 算子。

$$
\nabla f=\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

> 看到 $\nabla$ 就表示他是对各个分量求偏导

`例` 设$f=x^2+y^2$ 求 $\nabla f$
解：$ \frac{\partial f}{\partial x} =2x,  \frac{\partial f}{\partial x} =2y$

所以 $\nabla f=(2x,2y)$

这样数量场$f$即生成了一个向量场，称为 $f$ 的**梯度场**，$f$ 就是这个梯度场的**势函数**． 梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

即生成了一个数量场，称为 $a$ 的**散度场**．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

从向量场 $a =(P, Q, R)$ 还有旋度

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\nabla \times a =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
\end{aligned}
$$

这样就又生成了一个向量场，称为 $a$ 的旋度场．如前所述，旋度反映了向量场的旋转程度。

其他版本
【高等数学】附录3：麦克斯韦方程组【数学分析】数量场和向量场【数学分析】保守场【线性代数】向量单位化

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