二次型及其标准形的定义

日期: 2023-01-02 19:14 查看: 80 次

定义 1 含有 $n$ 个变量 $x_1, x_2... x_n$ 的二次齐次多项式

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+2 a_{12} x_1 x_2+2 a_{13} x_1 x_3+\cdots+2 a_{1, n} x_1 x_n \\
& +a_{22} x_2^2+2 a_{23} x_2 x_3+\cdots+2 a_{2, n} x_2 x_n+\cdots+a_{n-1, n-1} x_{n-1}^2+2 a_{n-1, n} x_{n-1} x_n+a_{m n} x_n^2
\end{aligned}
$$

称为二次型. 如果所有系数 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq n)$ 均为实数，则称二次型为实二次型. 特别地， 如果 $n$ 元二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 只含有平方项，即

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1^2+k_2 x_2^2+\cdots+k_n x_n^2 ，
$$

称这样的二次型为二次型的标准形. 如果标准形的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 只在 $1,-1,0$ 三个数中 取值，也就是

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_r^2,
$$

就称其为二次型的规范形.

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010205048eb.png)
记

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right),
$$

则二次型可记作

$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x},
$$

其中 $A$ 为对称阵.
例如，二次型 $f=x_1^2-3 x_3^2-4 x_1 x_2+x_2 x_3$ 用矩阵记号写出来，就是

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 0 \\
-2 & 0 & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right) .

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