最后更新: 2025-04-08 13:35 查看: 831 次反馈同步训练

空间曲线的切线和法平面

## 空间曲线的切线和法平面
假设空间有一条曲线如下图，在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线$l$,这被称作**空间曲线的切线** ，再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线，则这个平面称作**法平面**
 
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上面是几何的解释，下面用数学语言表述：空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ，作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时，割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线，点 $M_0$ 为切点 (见下图).
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过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。

## 引子：对称式方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) .

把给定的方向向量$s$平移到起点在原点的地方，则 $os=(m-0,n-0,p-0)=(m,n,p)$

如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{os}$ ，
根据[平面向量定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=166)，**两直线平行，对应坐标应该成比例**，即有

\frac{x-x_0}{m-0}=\frac{y-y_0}{n-0}=\frac{z-z_0}{p-0}

即：

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

> 注   当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0 \\
\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
\end{array}\right.
$$
 
  
`例`假设给定空间一个向量$S(1,2,3)$ ,要求过点 $(4,5,6)$ 且与$S$ 平行的直线方程为

$\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-6}{3}$

示意图如下，两个向量平行，对应坐标城比例 
 ![图片](/uploads/2025-04/3f1e12.jpg)

## 空间曲线的参数表示

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在度上面公式(2) 做一个物理解释。

在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_x=f'_y, v_x=f'_z$，
质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $M_0\left(x, y, z\right)$ ，相当于
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ① \\
y=y_0+v_y \Delta t ② \\
z=z_0+v_z \Delta t ③ \\
\end{array}
$$
 ![图片](/uploads/2025-04/4cb98d.jpg){width=300px}
 
 由①②③ 得
 
 $$
\boxed{
\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z}=\Delta t ...(3) 
}
$$
 
 (3)式就是曲线切线的物理解释。
 
 
 
## 情况1 空间曲线由参数方程给出
设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t), \\ z=z(t)\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，其中 $x(t), y(t), z(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上可导，且不同时为零.
   现在要求曲线 $\Gamma$ 上一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程和法平面方程.
  
  
  当 $x(t), y(t), z(t)$ 均在 $[\alpha, \beta]$ 上连续时，曲线 $\Gamma$ 是一条连续曲线．设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right), P_1\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 上对应于参量 $t_0, t_0+\Delta t$ 的两个点，$x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在且不同时为零，则曲线上连接 $P_0, P_1$ 的割线方程为

$$
\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z} \text {, 或 } \frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} \text {. }
$$

当点 $P_1$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $P_0$ 时，即当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线的极限位置是曲线在 $P_0$ 处的切线．故当 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 不全为零时，向量

$$
T \left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)
$$

是**切线的方向向量**，称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切向量，故曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切线方程为
（参考引例，这里相当于把 $\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 当做方向向量）

$$
\boxed{
\dfrac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)} .
}
$$

若 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解。
  
  
  
  
   
  
  
  
  
由于曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线与法平面垂直，根据向量知识可以知道，[两个向量垂直其数量积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) ，而且根据定义可知法平面的法向量正是切线的方向向量，因此根据平面点法式方程可知法平面方程为（具体推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)）

$$
\boxed{
x^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0 .
}
$$

注 求空间曲线的切线与法平面方程的关键在于求出其切向量.

> 总结：通过上面推导可以看到，求一点的切线方法，最主要是对函数求导，然后带入公式即可，详见下面例题

## 例题

`例` 求曲线 $x=t^2+t, y=t^2-t, z=t^2$ 在点 $(6,2,4)$ 处的切线和法平面。

解 因为 $x^{\prime}(t)=2 t+1, y^{\prime}(t)=2 t-1, z^{\prime}(t)=2 t$ ，又由方程知，在点 $(6,2,4)$ 处，对应于 $t=2$ ，所以切线的方向向量为 $T=(5,3,4)$ ．故曲线在 $(6,2,4)$ 处的切线方程为

$$
\frac{x-6}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4},
$$

法平面方程为

$$
5(x-6)+3(y-2)+4(z-4)=0 \text {, 即 } 5 x+3 y+4 z=52 \text {. }
$$

`例`在曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t \\ y=a \sin t\\ z=b t\end{array}\right.$ 在点 $M_0(a, 0,0)$ 的切线和法平面方程.
 
 
解: 点 $M_0(a, 0,0)$ 对应的参数为 $t=0$ ，由于

$$
\begin{aligned}
& \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=-\left.a \sin t\right|_{t=0}=0 \\
& \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.a \cos t\right|_{t=0}=a \\
& \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=b ;
\end{aligned}
$$

所以，曲线在点 $M_0(a, 0,0)$ 处的切线方程为 $\frac{x-a}{0}=\frac{y}{a}=\frac{z}{b}$ ，
即 $\left\{\begin{array}{c}x-a=0, \\ \frac{y}{a}=\frac{z}{b} .\end{array}\right.$
法平面方程为 $a y+b z=0$.

`例`解 $\tau=\left.(a \sin 2 t, b \cos 2 t,-c \sin 2 t) ， \tau\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(a, 0,-c)$ ， $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点为 $\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ ， 因此所求切线方程为 $\frac{x-\frac{a}{2}}{a}=\frac{y-\frac{b}{2}}{0}=\frac{z-\frac{c}{2}}{-c}$ ； 法平面方程为 $a\left(x-\frac{a}{2}\right)+0\left(y-\frac{b}{2}\right)-c\left(z-\frac{c}{2}\right)=0$ ，即 $a x-c z-\frac{a^2-c^2}{2}=0$.

`例`在曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t^2 \\ z=t^3\end{array}\right.$ 上求出一点，使此点的切线平行于平面 $x+2 y+z-4=0$
解 曲线的切向量为 $\tau=\left(x_t, y_t, z_t\right)=\left(1,2 t, 3 t^2\right)$ ，已知平面的法向量为 $n=(1,2,1)$ ， 由 $\tau \perp n$ ，即 $\tau \cdot n=1+4 t+3 t^2=0$ ，得 $t_1=-\frac{1}{3} ， t_2=-1$ ，因此所求点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}\right)$ 和 $(-1,1,-1)$.

##  情况2 空间曲线是两个柱面的交线
空间曲线 $\Gamma$ : $\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x)\end{array}\right.$ 的切线和法平面
若空间曲线 $\Gamma$ (是以两个柱面的交线) 的形式给出，比如 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$ 则
可取 $x$ 为参数，则有 $\left\{\begin{array}{l}x=x, \\ y=\psi(x),  \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$

其任一点处的切向量为  $ \tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right)  $ , 因此，空间曲线在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程为

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(x_0\right)}
}
$$

法平面方程为
$$
\boxed{
\quad\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0
}
$$

`例` 求曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=2 x^3, \\ z=x+3\end{array}\right.$ 在点 $M(1,2,4)$ 处的切线及法平面方程.
解 $\tau=\left.\left(1,6 x^2, 1\right) ， \tau\right|_{x=1}=(1,6,1)$ ，
因此所求切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-4}{1}$ ；
法平面方程为 $(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$ ，
即 $x+6 y+z-17=0$.

## 情况3 空间曲线是两个曲面的交线
 若空间曲线 $\Gamma$ 是以一般方程形式 (两个曲面的交线) $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 给出.
   这里与隐函数存在定理的条件一样，仍要求: $F 、 G$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处具有 连续偏导数， $\left\{\begin{array}{l}F\left(x_0, y_0, z_0\right)=0, \\ G\left(x_0, y_0, z_0\right)=0,\end{array}\right.$ 且 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0} \neq 0$ ，因此由隐函数存在定理知 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{a

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