用正交变换化二次型为标准形

日期: 2023-01-02 19:18 查看: 67 次

定义 2 设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $C$ ，使 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ ，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 合同.
矩阵间的合同关系是一个等价关系，满足
（1）反身性：每一个方阵都与它自身合同. 这是因为 $A=E^{\mathrm{T}} A E$.
（2）对称性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同，则 $B$ 与 $A$ 也合同. 这是因为由 $B=C^{\mathrm{T}} A C$ 及矩阵 $C$ 可逆可 得 $A=P^{\mathrm{T}} B P$ ，其中 $P=C^{-1}$.
（3）传递性: 如果 $A$ 与 $B$ 合同， $B$ 与 $C$ 合同，则 $A$ 与 $C$ 也合同. 这是因为由 $B=P^{\mathrm{T}} A P$ 及 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}$ 可得 $\boldsymbol{C}=(\boldsymbol{P} \boldsymbol{Q})^{\mathrm{T}} A(\boldsymbol{P Q})$.

定理 任给二次型 $f=\sum_{i, j=1}^n a_i x_i x_j\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ ，总有正交变换 $x=P y$ ，使 $f$ 化为标准形

$$
f=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\cdots+\lambda_n y_n^2,
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $f$ 的矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 的特征值.

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如果要把二次型 $f$ 化成规范形，只需令

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1=\frac{1}{2} z_1, \\
y_2=z_2, \\
y_3=z_3,
\end{array}\right.
$$

即得 $f$ 的规范形

$$
f=z_1^2+z_2^2+z_3^2 .

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