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高等数学
第六章 多元函数微分学
空间曲线的切线和法平面
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2025-04-08 13:35
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空间曲线的切线和法平面
切线;法平面
## 空间曲线的切线和法平面 假设空间有一条曲线如下图,在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线$l$,这被称作**空间曲线的切线** ,再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线,则这个平面称作**法平面** {width=600px} 上面是几何的解释,下面用数学语言表述:空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ,作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时,割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线,点 $M_0$ 为切点 (见下图). {width=400px} 过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。 ## 引子:对称式方程及参数方程 由立体几何知道,过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此, 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量,那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程. 如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然,一条直线的方向向量有无穷多个,它们之间互相平行. 由于过空间一点可作且只能作一条直线,平行于已知向量,故给定直线上的一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ,直线的位置就完全确定了 (见下图) . 把给定的方向向量$s$平移到起点在原点的地方,则 $os=(m-0,n-0,p-0)=(m,n,p)$ 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点,则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{os}$ , 根据[平面向量定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=166),**两直线平行,对应坐标应该成比例**,即有 $$ \frac{x-x_0}{m-0}=\frac{y-y_0}{n-0}=\frac{z-z_0}{p-0} $$ 即: $$ \boxed{ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) } $$  > 注 当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零,例如 $m=0$ ,而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时,这个方程组应理解为 $$ \left\{\begin{array}{l} x-x_0=0 \\ \frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \end{array}\right. $$ `例`假设给定空间一个向量$S(1,2,3)$ ,要求过点 $(4,5,6)$ 且与$S$ 平行的直线方程为 $\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-6}{3}$ 示意图如下,两个向量平行,对应坐标城比例  ## 空间曲线的参数表示 > 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程.在任意特定时刻 $t$ ,有一个点,譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来,在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线.显然,画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示,而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样,我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示, 上面这个例子告诉我们,通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在度上面公式(2) 做一个物理解释。 在高中物理课的圆周运动里,**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动,其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导,就得到速度的三个分量:$v_x=f'_x, v_x=f'_y, v_x=f'_z$, 质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了 $M_0\left(x, y, z\right)$ ,相当于 $$ \begin{array}{c} x=x_0+v_x \Delta t ① \\ y=y_0+v_y \Delta t ② \\ z=z_0+v_z \Delta t ③ \\ \end{array} $$ {width=300px} 由①②③ 得 $$ \boxed{ \frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z}=\Delta t ...(3) } $$ (3)式就是曲线切线的物理解释。 ## 情况1 空间曲线由参数方程给出 设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t), \\ z=z(t)\end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.$ ,其中 $x(t), y(t), z(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上可导,且不同时为零. 现在要求曲线 $\Gamma$ 上一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程和法平面方程. 当 $x(t), y(t), z(t)$ 均在 $[\alpha, \beta]$ 上连续时,曲线 $\Gamma$ 是一条连续曲线.设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right), P_1\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 上对应于参量 $t_0, t_0+\Delta t$ 的两个点,$x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在且不同时为零,则曲线上连接 $P_0, P_1$ 的割线方程为 $$ \frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z} \text {, 或 } \frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} \text {. } $$ 当点 $P_1$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $P_0$ 时,即当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时,割线的极限位置是曲线在 $P_0$ 处的切线.故当 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 不全为零时,向量 $$ T \left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right) $$ 是**切线的方向向量**,称为曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切向量,故曲线 $\Gamma$ 在 $P_0$ 处的切线方程为 (参考引例,这里相当于把 $\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 当做方向向量) $$ \boxed{ \dfrac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\dfrac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)} . } $$ 若 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 中有个别为零,则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解。 由于曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线与法平面垂直,根据向量知识可以知道,[两个向量垂直其数量积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) ,而且根据定义可知法平面的法向量正是切线的方向向量,因此根据平面点法式方程可知法平面方程为(具体推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)) $$ \boxed{ x^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0 . } $$ 注 求空间曲线的切线与法平面方程的关键在于求出其切向量. > 总结:通过上面推导可以看到,求一点的切线方法,最主要是对函数求导,然后带入公式即可,详见下面例题 ## 例题 `例` 求曲线 $x=t^2+t, y=t^2-t, z=t^2$ 在点 $(6,2,4)$ 处的切线和法平面。 解 因为 $x^{\prime}(t)=2 t+1, y^{\prime}(t)=2 t-1, z^{\prime}(t)=2 t$ ,又由方程知,在点 $(6,2,4)$ 处,对应于 $t=2$ ,所以切线的方向向量为 $T=(5,3,4)$ .故曲线在 $(6,2,4)$ 处的切线方程为 $$ \frac{x-6}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4}, $$ 法平面方程为 $$ 5(x-6)+3(y-2)+4(z-4)=0 \text {, 即 } 5 x+3 y+4 z=52 \text {. } $$ `例`在曲线 $\left\{\begin{array}{c}x=a \cos t \\ y=a \sin t\\ z=b t\end{array}\right.$ 在点 $M_0(a, 0,0)$ 的切线和法平面方程. 解: 点 $M_0(a, 0,0)$ 对应的参数为 $t=0$ ,由于 $$ \begin{aligned} & \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=-\left.a \sin t\right|_{t=0}=0 \\ & \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=\left.a \cos t\right|_{t=0}=a \\ & \left.\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=b ; \end{aligned} $$ 所以,曲线在点 $M_0(a, 0,0)$ 处的切线方程为 $\frac{x-a}{0}=\frac{y}{a}=\frac{z}{b}$ , 即 $\left\{\begin{array}{c}x-a=0, \\ \frac{y}{a}=\frac{z}{b} .\end{array}\right.$ 法平面方程为 $a y+b z=0$. `例`解 $\tau=\left.(a \sin 2 t, b \cos 2 t,-c \sin 2 t) , \tau\right|_{t=\frac{\pi}{4}}=(a, 0,-c)$ , $t=\frac{\pi}{4}$ 对应点为 $\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$ , 因此所求切线方程为 $\frac{x-\frac{a}{2}}{a}=\frac{y-\frac{b}{2}}{0}=\frac{z-\frac{c}{2}}{-c}$ ; 法平面方程为 $a\left(x-\frac{a}{2}\right)+0\left(y-\frac{b}{2}\right)-c\left(z-\frac{c}{2}\right)=0$ ,即 $a x-c z-\frac{a^2-c^2}{2}=0$. `例`在曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t^2 \\ z=t^3\end{array}\right.$ 上求出一点,使此点的切线平行于平面 $x+2 y+z-4=0$ 解 曲线的切向量为 $\tau=\left(x_t, y_t, z_t\right)=\left(1,2 t, 3 t^2\right)$ ,已知平面的法向量为 $n=(1,2,1)$ , 由 $\tau \perp n$ ,即 $\tau \cdot n=1+4 t+3 t^2=0$ ,得 $t_1=-\frac{1}{3} , t_2=-1$ ,因此所求点为 $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}\right)$ 和 $(-1,1,-1)$. ## 情况2 空间曲线是两个柱面的交线 空间曲线 $\Gamma$ : $\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x)\end{array}\right.$ 的切线和法平面 若空间曲线 $\Gamma$ (是以两个柱面的交线) 的形式给出,比如 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=\psi(x), \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$ 则 可取 $x$ 为参数,则有 $\left\{\begin{array}{l}x=x, \\ y=\psi(x), \\ z=\omega(x),\end{array}\right.$ 其任一点处的切向量为 $ \tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right) $ , 因此,空间曲线在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程为 $$ \boxed{ \frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(x_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(x_0\right)} } $$ 法平面方程为 $$ \boxed{ \quad\left(x-x_0\right)+\psi^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(y-y_0\right)+\omega^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(z-z_0\right)=0 } $$ `例` 求曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}y=2 x^3, \\ z=x+3\end{array}\right.$ 在点 $M(1,2,4)$ 处的切线及法平面方程. 解 $\tau=\left.\left(1,6 x^2, 1\right) , \tau\right|_{x=1}=(1,6,1)$ , 因此所求切线方程为 $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-4}{1}$ ; 法平面方程为 $(x-1)+6(y-2)+(z-4)=0$ , 即 $x+6 y+z-17=0$. ## 情况3 空间曲线是两个曲面的交线 若空间曲线 $\Gamma$ 是以一般方程形式 (两个曲面的交线) $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.$ 给出. 这里与隐函数存在定理的条件一样,仍要求: $F 、 G$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处具有 连续偏导数, $\left\{\begin{array}{l}F\left(x_0, y_0, z_0\right)=0, \\ G\left(x_0, y_0, z_0\right)=0,\end{array}\right.$ 且 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0} \neq 0$ ,因此由隐函数存在定理知 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 必在点 $M_0$ 的某个邻域内能唯一地确定具有连续导数的函数 $y=\psi(x)$ 和 $z=\omega(x)$. 这样空间曲线 $\Gamma$ 的表达式可认为是 $$ \left\{\begin{array}{c} x=x, \\ y=\psi(x), \\ z=\omega(x) \end{array}\right. $$ 切向量为 $\tau=\left(1, \psi^{\prime}(x), \omega^{\prime}(x)\right)=\left(1, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}\right)$. 而 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 可用下列方法获得: $$ \text { 由 }\left\{\begin{array} { l } { F ( x , y , z ) = 0 , } \\ { G ( x , y , z ) = 0 , } \end{array} \text { 等式两边同时对 } x \text { 求导数,得 } \left\{\begin{array}{l} F_x+F_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+F_z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0, \\ G_x+G_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+G_z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0, \end{array}\right.\right. $$ 解方程组求得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ 的表达式: 从而 $\left.\tau_1\right|_{x=x_0}=\left(1, \psi^{\prime}\left(x_0\right), \omega^{\prime}\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的一个切向量,这里 分子分母带下标 $M_0$ 的行列式表示行列式在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的值. 把上面的切向量乘以 $\left|\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\right|_{M_0}$ ,得到的向量 $$ \left.\tau\right|_{M_0}=\left(\left|\begin{array}{ll} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right|_{M_0},\left|\begin{array}{ll} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right|_{M_0},\left|\begin{array}{ll} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right|_{M_0}\right) $$ 也是曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的一个切向量. 继而得到对应曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线方程 $$ \frac{x-x_0}{\left|\begin{array}{ll} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right|_{M_0}}=\frac{y-y_0}{\left|\begin{array}{ll} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right|_{M_0}}=\frac{z-z_0}{\left|\begin{array}{cc} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right|_{M_0}} $$ 法平面方程为 $$ \left|\begin{array}{ll} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right|_{M_0}\left(x-x_0\right)+\left|\begin{array}{ll} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right|_{M_0}\left(y-y_0\right)+\left|\begin{array}{ll} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right|_{M_0}\left(z-z_0\right)=0 . $$ 注 1 由行列式的定义可知,借助于三阶行列式,我们可以把上述的切向量 表示为 $$ \left.\tau\right|_{M_0}=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{array}\right| $$ 这样比较方便记忆. 注2 若 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=0$ ,而 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0}$ 或 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{M_0}$ 中至少有一个不为零时 我们同样可得到结果. 比如, $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0} \neq 0$ (其它条件不变),则可唯一确定 $x=x(z) , y=y(z)$. `例`求曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线及法平面方程. 解法一 设 $F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-6 , G(x, y, z)=x+y+z$ , 则 $$ \begin{aligned} & \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc} 2 y & 2 z \\ 1 & 1 \end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=-4-2=-6 \\ & \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc} 2 z & 2 x \\ 1 & 1 \end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=2-2=0 \\ & \left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{M_0}=\left|\begin{array}{ll} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc} 2 x & 2 y \\ 1 & 1 \end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=2-(-4)=6 \end{aligned} $$ 故切向量 $\left.\tau\right|_{(1-2,1)}=(1,0,-1)$ , 因此所求切线方程 因此所求切线方程 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ , 即 $\left\{\begin{array}{c}x+z-2=0 \\ y+2=0\end{array}\right.$ ; 法平面方程为 $1 \cdot(x-1)+0 \cdot(y+2)-1 \cdot(z-1)=0$ , 即 $x-z=0$. 解法二 $\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{ll}F_y & F_z \\ G_y & G_z\end{array}\right|\right|_{M_0}=\left.\left|\begin{array}{cc}2 y & 2 z \\ 1 & 1\end{array}\right|\right|_{(1,-2,1)}=-4-2=-6 \neq 0$ , 因此可唯一确定 $y=y(x) , z=z(x)$ ,对方程组两端关于 $x$ 求导: $$ \left\{\begin{array} { c } { 2 x + 2 y \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } + 2 z \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = 0 } \\ { 1 + \frac { \mathrm { d } y } { \mathrm { d } x } + \frac { \mathrm { d } z } { \mathrm { d } x } = 0 } \end{array} , \text { 将点 } ( 1 , - 2 , 1 ) \text { 代入得 } \left\{\begin{array}{c} 1-2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0 \\ 1+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=0 \end{array}\right.\right. $$ 解得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0 , \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-1$ , 因此所求切线方程 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1}$ , 法平面方程为 $\quad x-z=0$. `例`求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=7 \\ 2 x+5 y-3 z=-4\end{array}\right.$ 在点 $(2,-1,1)$ 处的切线及法平面方程. 解法一 设 $F(x, y, z)=x^2+2 y^2+z^2-7 , G(x, y, z)=2 x+5 y-3 z+4$ , 则在点 $(2,-1,1)$ 处有 $F_x=4, F_y=-4, F_z=2 ; G_x=2, G_y=5, G_z=-3$. 故切向量 $\left.\tau\right|_{(2,-1,1)}=\left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\ 4 & -4 & 2 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right|=2 i+16 j+28 k$ ,因此所求切线方程为 $$ \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{8}=\frac{z-1}{14} \text {; } $$ 法平面方程为 $(x-2)+8(y+1)+14(z-1)=0$ , 即 $x+8 y+14 z-8=0$. 解法二 我们也可以依照推导出切向量的表达式的方法来求解,为此视方程 组中 $y=y(x) , z=z(x)$ ,对方程组两端关于 $x$ 求导,得 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-x, \\ 5 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-3 \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-2, \end{array}\right. $$ 解得 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left|\begin{array}{cc} -x & z \\ -2 & -3 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} 2 y & z \\ 5 & -3 \end{array}\right|}=\frac{3 x+2 z}{-6 y-5 z} ; \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{\left|\begin{array}{cc} 2 y & -x \\ 5 & -2 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} 2 y & z \\ 5 & -3 \end{array}\right|}=\frac{-4 y+5 x}{-6 y-5 z} . $$ $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{3 x+2 z}{-6 y-5 z} ; \quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{-4 y+5 x}{-6 y-5 z} . $$ 故有 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{(2,-1,1)}=8,\left.\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{d} x}\right|_{(2,-1,1)}=14$, 从而得到切向量 $\left.\tau\right|_{(2,-1,1)}=(1,8,14)$ , 因此所求切线方程为 $$ \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{8}=\frac{z-1}{14}, $$ 法平面方程为 $$ (x-2)+8(y+1)+14(z-1)=0 \text { , 即 } x+8 y+14 z-8=0 \text {. } $$
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