日期: 2023-10-01 11:28 查看: 299 次编辑

一元向量值函数及其导数

由空间解析几何可知，空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t), \quad t \in[\alpha, \beta], \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$

若记 $r=(x, y, z) ， f(t)=(\varphi(t), \psi(t), \omega(t))$, 则曲线 $\Gamma$ 的方程可写成向量的形式:

$$
r=f(t), \quad t \in[\alpha, \beta],
$$

定义 1 设数集 $D \subset \mathbf{R}$ ，方程 (2) 确定了一个关系 $f:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbf{R}^3$ ，我们称 关系 $f: D \rightarrow \mathbf{R}^3$ 为一元向量值函数，记为 $r=f(t) ， t \in D$. 其中数集 $D$ 称为函数的 定义域， $t$ 称为自变量， $r$ 称为因变量.
在 $\mathbf{R}^3$ 中，若向量函数 $f(t), t \in D$ 的三个分量函数依次为 $f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ ， $t \in D$ ，则向量值函数 $f$ 可表示为

$$
f(t)=f_1(t) i+f_2(t) j+f_3(t) k=\left(f_1(t), f_2(t), f_3(t)\right), \quad t \in D .
$$

设向量 $r$ 的起点取在坐标系的原点，终点在 $M$ 处，即 $r=\overrightarrow{O M}$ ，终点 $M$ 的轨 迹 (记为曲线 $\Gamma$ ) 称为向量值函数 $r=f(t) ， t \in D$ 的图形. 而 $r=f(t) ， t \in D$ 就称 为曲线 $\Gamma$ 的向量方程.
根据 $\mathbf{R}^3$ 中向量的模的概念与向量的线性运算，可以定义一元向量值函数 $r=f(t)$ 的连续性和可导性:
设向量值函数 $f(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\lim _{t \rightarrow t_0} f(t)=f\left(t_0\right)$ ，则称 向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 连续.
向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 连续 $\Leftrightarrow f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ 在 $t_0$ 连续；
设向量值函数 $f(t) ， t \in D$ ，若 $D_1 \subset D ， f(t)$ 在 $D_1$ 上每一点处都连续，则称 $f(t)$ 在 $D_1$ 上连续，或称 $f(t)$ 为 $D_1$ 上的连续函数.
设向量值函数 $f(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f\left(t_0+\Delta t\right)-f\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

存在，则称此极限向量为向量值函数 $r=f(t)$ 在 $t_0$ 处的导数或导向量，记作 $f\left(t_0\right)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=t_0}$.
设向量值函数 $r=f(t) ， t \in D$ ，若 $D_1 \subset D ， f(t)$ 在 $D_1$ 上每一点处都存在导 向量 $f(t)$ ，则称 $f(t)$ 在 $D_1$ 上可导.
向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 可导 $\Leftrightarrow f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ 在 $t_0$ 可导； 当 $f(t)$ 在 $t$ 处可导时，有

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(f_1(t), f_2(t), f_3(t)\right)=\left(f_1^{\prime}(t), f_2^{\prime}(t), f_3^{\prime}(t)\right)

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