最后更新: 2025-04-05 08:21 查看: 569 次反馈刷题

向量导数

##  向量函数 
具有大小和方向的量叫向量，由向量组成的函数叫做向量函数．例如质点沿曲线运动时，运动速度的大小和方向会改变，这时速度就是一个变向量。如下图，一个小球做抛体运动，速度$v$就是一个向量函数。

![图片](/uploads/2025-04/cb9c8c.jpg){width=300px}

> **对于向量导数，主要对策就是按照坐标分解,然后求导。**

下面，我们对导向量的几何意义和物理意义作一简单介绍。
从图4．6（a），（b）中可见，设 $A (t), ~ A (t+\Delta t)$ 的终端分别为 $M, ~ N$ ，则 $\Delta A =\overrightarrow{M N}$ ．当 $\Delta t>0$ 时，$\Delta A$ 的方向与 $l$ 上 $t$ 的增长方向一致，当 $\Delta t<0$ 时，$\Delta A$ 的方向与 $l$ 上 $t$ 的增长方向相反，从而 $\frac{\Delta A }{\Delta t}$ 总是与 $l$ 上 $t$ 的增长方向一致．当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线 $M N$ 的极限位置是切线，所以 $A^{\prime}(t)$ 是曲线 $l$ 在点 $M$ 处的切向量，且 $A^{\prime}(t)$ 指向 $l$ 上 $t$ 的增长方向．

![图片](/uploads/2025-04/53a6b4.jpg)

微分 $d A = A ^{\prime}(t) d t$ 与导向量 $A ^{\prime}(t)$ 平行，所以微分 $d A$ 也是曲线 $l$ 在点 $M$ 处的切向量。不过由于 $d t$ 可正可负，故 $d A$ 的指向不确定。 $d A$ 的模

$$
|d A |=\left|A^{\prime}(t)\right||d t|=\sqrt{\left(d A_x\right)^2+\left(d A_y\right)^2+\left(d A_z\right)^2} .
$$

特别地，对于向径函数 $r (t)=\{x(t), y(t), z(t)\}$ ，有

$$
\begin{gathered}
d r =\{d x, d y, d z\} \\
|d r|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}
\end{gathered}
$$

我们知道，在规定了正向的光滑曲线 $l$ 上，取定一点作为度量弧长 $s$ 的起点，并将正向取作 $s$ 的增长方向，这样就有弧微分

$$
d s= \pm \sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}
$$

由此可见

$$
|d r|=|d s|
$$

即向径函数的微分的模，等于其终端曲线上的弧微分的绝对值，并

进而可得

$$
\left|\frac{d r}{d s}\right|=\frac{|d r|}{|d s|}=1
$$

即向径函数对弧 $s$ 的导向量是一个单位向量。
设动点 $M$ 的向径为 $r=r(t), M$ 的轨迹为 $l$ ．又设从 $t=0$ 到时刻 $t$ ，点 $M$ 在 $l$ 上所经过的路程为 $s=s(t)$ ，那末

$$
\frac{d r}{d t}=\frac{d r}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}
$$

记 $\tau =\frac{d r}{d s}$ ，由以上的讨论可知，$\tau$ 为曲线 $l$ 在点 $M$ 处的单位切向量，其指向为 $s$ 的增长方向，因此 $\tau$ 就是速度向量 $v$ 的单位向量： $\tau = V ^0$ ．而 $\frac{d s}{d t}$ 表示点 $M$ 运动速度的大小，即 $\frac{d s}{d t}=| v |=v$ 。所以

$$
\frac{d r}{d t}=\frac{d r}{d s} \cdot \frac{d s}{d t}=v \tau=|v| v^0=v
$$

类似可知，

$$
a =\frac{d v}{d t}=\frac{d^2 r }{d t^2}
$$

为质点运动的加速度向量。
如果质点的运动规律用坐标式表示为

$$
\begin{gathered}
r=\{x(t), y(t), z(t)\} \\
v=\left\{x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right\} \\
a =\left\{x^{\prime \prime}(t), y^{\prime \prime}(t), z^{\prime \prime}(t)\right\}
\end{gathered}
$$

## 一元向量值函数及其导数

由空间解析几何可知，空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t), \quad t \in[\alpha, \beta], \\
z=\omega(t)
\end{array}\right.
$$

若记 $\boldsymbol{r}=(x, y, z) ， \boldsymbol{f}(t)=(\varphi(t), \psi(t), \omega(t))$, 则曲线 $\Gamma$ 的方程可写成向量的形式:

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{f}(t), \quad t \in[\alpha, \beta], ...(2)
$$

**定义1** 设数集 $D \subset \mathbf{R}$ ，方程 (2) 确定了一个关系 $f:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathbf{R}^3$ ，我们称 关系 $f: D \rightarrow \mathbf{R}^3$ 为一元向量值函数，记为 $r=f(t) ， t \in D$. 其中数集 $D$ 称为函数的 定义域， $t$ 称为自变量， $r$ 称为因变量.
在 $\mathbf{R}^3$ 中，若向量函数 $f(t), t \in D$ 的三个分量函数依次为 $f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ ， $t \in D$ ，则向量值函数 $f$ 可表示为

$$
f(t)=f_1(t) i+f_2(t) j+f_3(t) k=\left(f_1(t), f_2(t), f_3(t)\right), \quad t \in D .
$$

设向量 $r$ 的起点取在坐标系的原点，终点在 $M$ 处，即 $r=\overrightarrow{O M}$ ，终点 $M$ 的轨 迹 (记为曲线 $\Gamma$ ) 称为向量值函数 $r=f(t) ， t \in D$ 的图形. 而 $r=f(t) ， t \in D$ 就称 为曲线 $\Gamma$ 的向量方程.
根据 $\mathbf{R}^3$ 中向量的模的概念与向量的线性运算，可以定义一元向量值函数 $r=f(t)$ 的连续性和可导性:
设向量值函数 $f(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，如果 $\lim _{t \rightarrow t_0} f(t)=f\left(t_0\right)$ ，则称 向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 连续.
向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 连续 $\Leftrightarrow f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ 在 $t_0$ 连续；
设向量值函数 $f(t) ， t \in D$ ，若 $D_1 \subset D ， f(t)$ 在 $D_1$ 上每一点处都连续，则称 $f(t)$ 在 $D_1$ 上连续，或称 $f(t)$ 为 $D_1$ 上的连续函数.
设向量值函数 $f(t)$ 在点 $t_0$ 的某一邻域内有定义，如果

$$
\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{f\left(t_0+\Delta t\right)-f\left(t_0\right)}{\Delta t}
$$

存在，则称此极限向量为向量值函数 $r=f(t)$ 在 $t_0$ 处的导数或导向量，记作 $f\left(t_0\right)$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=t_0}$.
设向量值函数 $r=f(t) ， t \in D$ ，若 $D_1 \subset D ， f(t)$ 在 $D_1$ 上每一点处都存在导 向量 $f(t)$ ，则称 $f(t)$ 在 $D_1$ 上可导.
向量值函数 $f(t)$ 在 $t_0$ 可导 $\Leftrightarrow f_1(t) ， f_2(t) ， f_3(t)$ 在 $t_0$ 可导； 当 $f(t)$ 在 $t$ 处可导时，有

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(f_1(t), f_2(t), f_3(t)\right)=\left(f_1^{\prime}(t), f_2^{\prime}(t), f_3^{\prime}(t)\right)

## 例题
`例`$r=f(t)=\left(t^2+1,4 t-3,2 t^2-6 t\right), t \in R$ 求曲线 $\Gamma$ 在与 $t=2$ 相应的点处的单位切向量
解

$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{r^{\prime}}=\vec{f}^{\prime}(t)=(2 t, 4 \cdot 4 t-6)=(4,4,2) \\
& |\vec{r}|=\sqrt{4^2+4^2 + 2^2}=6
\end{aligned}
$$

单位切向量为  $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right.$ )
或 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{5}\right)$

`例`   求曲线 $x=t, y=t^2, z=t^3$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线及法平面方程.
解:

$$
\begin{aligned}
& \vec{r}=\vec{f}(t)=\left(t, t^2, t^3\right) \\
& \overrightarrow{r^{\prime}}= (1,2 t, 3 t^2), \vec{r}| _{t=1}=(1,2,3)  
\end{aligned}
$$

切线 $ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$

法平面 $(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$

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