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用配方法化二次型为标准形
日期:
2023-01-02 19:27
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例 2 化二次型 $$ f=x_1^2+2 x_2^2+5 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+6 x_2 x_3 $$ 成标准形，并求所用的变换矩阵. 解 由于 $f$ 中含变量 $x_1$ 的平方项，故把含 $x_1$ 的项归并起来，配方可得 $$ \begin{aligned} f & =x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\ & =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-x_2^2-x_3^2-2 x_2 x_3+2 x_2^2+5 x_3^2+6 x_2 x_3 \\ & =\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+x_2^2+4 x_3^2+4 x_2 x_3, \end{aligned} $$ 上式右端除第一项外已不再含 $x_1$. 继续配方,可得 $$ f=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+2 x_3\right)^2 \text {. } $$  例 3 化二次型 $$ f=2 x_1 x_2+4 x_1 x_3-6 x_2 x_3 $$ 成规范形, ${ }^{\prime}$ 莍所用的变换矩阵. 解 在 $f$ 中不含平方项. 由于含有 $x_1, x_2$ 乘积项，故令 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=y_1+y_2, \\ x_2=y_1-y_2, \\ x_3=y_3, \end{array} \text { ，即 }\left(\begin{array}{l} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)\right. \text { ， } $$ 代入可得 $f=2 y_1^2-2 y_2^2-2 y_1 y_3+10 y_2 y_3$. 再配方，得 $$ f=2\left(y_1-\frac{1}{2} y_3\right)^2-2\left(y_2-\frac{5}{2} y_3\right)^2+12 y_3^2 \text {. } $$ 令 $$ \left\{\begin{array}{l} z_1=y_1-\frac{1}{2} y_3, \\ z_2=y_2-\frac{5}{2} y_3, \\ z_3=y_3, \end{array}\right. $$ 于是 $$ \left\{\begin{array}{l} y_1=z_1+\frac{1}{2} z_3, \\ y_2=z_2+\frac{5}{2} z_3, \\ y_3=z_3, \end{array} \text { ，即 }\left(\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array}\right)\right. \text { ， } $$ $$ \text { 于是，二次型化为标准形 } f=2 z_1^2-2 z_2^2+12 z_3^2 \text {. } $$ 
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2023-01-02 19:27
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