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高等数学
第七章 多元函数积分学
二重积分的性质
最后更新:
2023-10-01 11:28
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二重积分的性质
二重积分有着和定积分相似的性质, 以下性质均假设被积函数在所在区域上 可积. 性质 $1 \iint_D[f(x, y)+g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ; 性质 $2 \iint_D k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \quad(k \in R)$ ; 性质 3 设 $D$ 由 $D_1 、 D_2$ 组成,则 $$ \iint_{D=D_1+D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_{D_2} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \text {; } $$ 性质 4 如果 $f(x, y) \equiv 1$ ,则有 $\iint_D 1 \mathrm{~d} x=\iint_D \mathrm{~d} x=D$ 的面积; 这个性质表明: 以 $D$ 为底、高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的 底面积. 性质 5 如果在区域 $D$ 上满足 $f(x, y) \leq g(x, y)$ ,则有 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq \iint_D g(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ; 特别地, 有 $\left|\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leq \iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma$. 性质 6 设 $S_D$ 是区域 $D$ 的面积. 如果 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$ , 则有 $$ m S_D \leq \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leq M S_D ; $$ 这个不等式称为二重积分的估值不等式. 性质 7 (二重积分的中值定理) 如果 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续,则在 $D$ 上至少可以找到一点 $(\xi, \eta)$ ,使得 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \cdot S_D . $$ 例 2 比较积分 $\iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma$ 的大小,其中区域 $D$ 是三角 形闭区域,三顶点各为 $(1,0),(1,1),(2,0)$. 解 如图 7-6,三斜边方程 $x+y=2$, 在 $D$ 内有 $1 \leq x+y \leq 2<\mathrm{e}$, 故 $0 \leq \ln (x+y) \leq \ln 2<\ln \mathrm{e}<1$, 于是 $\ln (x+y)>[\ln (x+y)]^2$, 因此 $$ \iint_D \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma>\iint_D[\ln (x+y)]^2 \mathrm{~d} \sigma . $$ ![图片](/uploads/2022-12/image_20221231e8ad39b.png) 例 3 不作计算,估计 $I=\iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma$ 的值,其中 $D$ 是椭圆闭区域: $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \quad(0<b<a) . $$ 解 区域 $D$ 的面积 $\sigma=a b \pi$, 在 $D$ 上因为 $0 \leq x^2+y^2 \leq a^2$, $$ \text { 所以 } 1=\mathrm{e}^0 \leq \mathrm{e}^{x^2+y^2} \leq \mathrm{e}^{a^2} \text {. } $$ 由性质 6 知 $\sigma \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq \sigma \cdot \mathrm{e}^{a^2}$ , 从而有 $a b \pi \leq \iint_D \mathrm{e}^{\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leq a b \pi \mathrm{e}^{a^2}$.
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