线性变换的性质

日期: 2023-01-02 20:06 查看: 63 次

性质1 $ T 0=0, T(-\alpha)=-T \boldsymbol{\alpha}$ ；
性质 2 若 $\beta=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m$ ，则 $T \boldsymbol{\beta}=k_1 T \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 T \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m T \boldsymbol{\alpha}_m$ ；
性质 3 若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 亦线性相关.

注意: 性质 3 的逆命题是不成立的，即若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，则 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 不一定线性无关.
例如，当线性变换是零变换时， $T \boldsymbol{\alpha}_i=\mathbf{0}(i=1,2, \cdots, m)$ ，从而尽管 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，
但是 $T \boldsymbol{\alpha}_1, T \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, T \boldsymbol{\alpha}_m$ 却线性相关.

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性质 5 使 $T \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 的 $\boldsymbol{\alpha}$ 的全体 $S_T=\left\{\boldsymbol{\alpha} \mid \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}\right\}$ 也是 $V_n$ 的一个线性子空间， 称 $S_T$ 为线性变换 $T$ 的核.
证明 $S_T \subset V_n$ ，且对任意 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in S_T$ ，有 $T \boldsymbol{\alpha}_1=\mathbf{0}, T \boldsymbol{\alpha}_2=\mathbf{0}$ ，于是

$$
T\left(\alpha_1+\alpha_2\right)=T \alpha_1+T \alpha_2=0,-T\left(\lambda \alpha_1\right)=\lambda T \alpha_1=\lambda 0=0,
$$

所以 $\alpha_1+\alpha_2 \in S_T ， \lambda \boldsymbol{\alpha}_1 \in S_T$. 这说明 $S_T$ 对 $V_n$ 中的线性运算封闭，所以 $S_T$ 是 $V_n$ 的一个
线性子空间.
例如，例 4 中所给的线性变换 $T$ 的像空间就是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 所生成的线性空间

$$
T\left(\mathbf{R}^n\right)=\left\{y=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\left.x_n \boldsymbol{\alpha}_n\right|_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\} ，
$$

而 $T$ 的核 $S_T$ 就是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间.

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