最后更新: 2024-10-07 09:40 查看: 516 次反馈同步训练

三重积分在物理中的应用

## 三重积分在物理中的应用

### 空间物体的质量:

$$
M=\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v,
$$

其中 $\rho=\rho(x, y, z)$ 为空间物体的体密度函数.

`例`设常数 $a>0 、 h>0$ ，若立体 $\Omega$ 由平面 $z=0$ ，圆柱面 $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$ 以及雉面 $z=\frac{h}{a} \sqrt{x^2+y^2}$ 围成，其各点处的体密度等于该点到 $y O z$ 平面的距离的 平方，求该立体 $\Omega$ 的质量.

$$
\text { 解 } \begin{aligned}
M & =\iiint_{\Omega} x^2 \mathrm{~d} v=\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_0^{\frac{h}{a} \sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} z=\frac{h}{a} \iint_D x^2 \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{2 h}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{a \cos \theta} r^4 \cos ^2 \theta \mathrm{d} r=\frac{2 h a^4}{5} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^7 \theta \mathrm{d} \theta=\frac{2 h a^4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1=\frac{96 h a^4}{525}
\end{aligned}
$$

### 空间物体的质心:

$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \quad \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v} ;
$$

空间立体的形心:

$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}, \quad \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}, \quad \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v} .
$$

`例` 求球心与雉体的顶点皆在原点，球体半径为 $a$ ，雉体中心轴为 $z$ 轴， 锥面与 $z$

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