三重积分在物理中的应用

## 三重积分在物理中的应用

### 空间物体的质量:

$$
M=\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v,
$$

其中 $\rho=\rho(x, y, z)$ 为空间物体的体密度函数.

`例`设常数 $a>0 、 h>0$ ，若立体 $\Omega$ 由平面 $z=0$ ，圆柱面 $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$ 以及雉面 $z=\frac{h}{a} \sqrt{x^2+y^2}$ 围成，其各点处的体密度等于该点到 $y O z$ 平面的距离的 平方，求该立体 $\Omega$ 的质量.

$$
\text { 解 } \begin{aligned}
M & =\iiint_{\Omega} x^2 \mathrm{~d} v=\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_0^{\frac{h}{a} \sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} z=\frac{h}{a} \iint_D x^2 \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{2 h}{a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{a \cos \theta} r^4 \cos ^2 \theta \mathrm{d} r=\frac{2 h a^4}{5} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^7 \theta \mathrm{d} \theta=\frac{2 h a^4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1=\frac{96 h a^4}{525}
\end{aligned}
$$

### 空间物体的质心:

$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \quad \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v} ;
$$

空间立体的形心:

$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}, \quad \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}, \quad \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v} .
$$

`例` 求球心与雉体的顶点皆在原点，球体半径为 $a$ ，雉体中心轴为 $z$ 轴， 锥面与 $z$ 轴正向交角为 $\alpha$ 的均匀球顶雉体的质心 (见图 7-41).

![图片](/uploads/2023-01/image_20230101dec5277.png)

解 由于物体是均匀的，所求质心即为立体的形心. 由对称性知， $\bar{x}=\bar{y}=0$ ， 又球面方程 $x^2+y^2+z^2=2$ ，锥面方程为 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ ，交线的投影柱面为 $x^2+y^2=1$.

$$
\begin{array}{r}
\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 r \mathrm{~d} r \int_r^{\sqrt{2-r^2}} \mathrm{~d} z=\frac{4 \pi}{3}(\sqrt{2}-1) \\
\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^1 r \mathrm{~d} r \int_r^{\sqrt{2-r^2}} z \mathrm{~d} z=\frac{\pi}{2}
\end{array}
$$

故 $\quad \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iint_{\Omega} \mathrm{d} v}=\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{4 \pi}{3}(\sqrt{2}-1)}=\frac{3}{8}(\sqrt{2}-1)$.
例 11 求均匀球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 对三个坐标轴的转动惯量.
解 由于 $\rho=\rho(x, y, z)$ 是常数，由（区域及轮换）对称性知

$$
I_x=\iiint_{\Omega} \rho\left(y^2+z^2\right) \mathrm{d} v ， I_y=\iiint_{\Omega} \rho\left(x^2+z^2\right) \mathrm{d} v ， I_z=\iiint_{\Omega} \rho\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} v \text { 均相等， }
$$

记 $I=I_x=I_y=I_z$ ，
则 $I=\frac{2}{3} \iiint_{\Omega} \rho\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} v=\frac{2 \rho}{5} \int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^\pi \mathrm{d} \varphi \int_0^R r^4 \sin \varphi \mathrm{d} r=\frac{8 \rho}{15} \pi R^5$.

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