最后更新: 2025-05-06 06:48 查看: 379 次反馈刷题

两类曲线积分的关系

## 预备知识：方向角余弦与弧微分公式
设 $\boldsymbol{a}$ 为任意一个向量，又设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 为与三坐标轴正向之间的夹角 如下图所示， $\alpha ， \beta ， \gamma$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向角，称为向量的方向角，  而 $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的**方向角余弦**，具体推导请参加 [方向角余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353)

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假设$a$坐标为$(x,y,z)$, 可知向量 $a$ 的三个向量角余弦分别是

$\cos \alpha=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$
$\cos \beta=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$
$\cos \gamma=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$,

所以，任给一个向量，都可以求出他的方向角余弦，反之，任给一个向量角余弦都可以确定一个向量。

#### 弧长公式
 在弧长公式里，曾经给出了如下一个公式弧微分公式为

$$ 
\boxed{
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x  
}
$$

若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t } 
$$

具体推导请参加 [弧微分公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=313)

#### 参数方程
> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

这说明给出空间一条曲线，可以使用参数方程表示。

#### 曲线的切线方向
在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_x=f'_y, v_x=f'_z$
这三个速度分量写成 $(f'_x,f'_y,f'_z)$ 就代表曲线的切线向量。
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#### 弧长
现在考虑空间一个质点的运动，在$\Delta t$ 时间内，从 $r$ 运动到 $r + \Delta r $ ，当时间极短时，距离的改变量 $\vec{dr}$ 近似等于弧长$ds$ 
 ![图片](/uploads/2025-01/f9e156.jpg){width=300px}
 
 即
 
 $|d \vec{r}|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=ds$
 
## 两类曲线积分的联系与区别

#### 意义
第一类积分：沿曲线累积标量量（如密度、温度），与方向无关
第二类积分：沿曲线累积向量场的投影（如力在运动方向的分量），与方向相关

第一类积分像“用尺子量路的总长度”，第二类积分像“用弹簧秤测每段路的拉力方向”，最终结果取决于拉力的方向和路径形状

#### 公式上的联系
  
通过方向余弦（切向量的投影），第二类积分可转化为第一类积分：

在平面 
   $$  
   \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds  
   $$  
  
  在空间有

\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s

#### 参数化
两类积分均可通过参数方程转化为定积分。例如：  
 • 第一类积分：$\int_L f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$

• 第二类积分：$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_a^b [P x'(t) + Q y'(t)]\,dt$

关键区别：第一类积分的弧长元素 $ds$ 包含方向无关的根号项，而第二类积分直接使用坐标微分 $dx, dy$，隐含方向信息。

## 数学推导

当曲线 $L$ 用参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t), \\
y=y(t), \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta \\
z=z(t),
\end{array}\right.
$$

表出时，$\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)$ 是曲线的切向量，因而

$$
d r =(d x, d y, d z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t
$$

也是切向量，且其方向与积分路径的方向一致．又 $d r$ 的模正好是弧微分，即

$$
|d r |=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=d s .
$$

设 $d r$ 的方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ，则有

$$
(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{d r }{|d r |}=\left(\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}\right) .
$$

由此得

$$
d x=\cos \alpha d s, \quad d y=\cos \beta d s, \quad d z=\cos \gamma d s .
$$

因而

$$
\int_{\widehat{A B}} P d x+Q d y+R d z=\int_{\hat{A B}}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s,
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为曲线 $\overparen{A B}$ 上各点的切线（且其方向与积分方向一致）的方向余弦。

上式刻画了两类曲线积分的关系．需要注意的是，式中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$与曲线的方向有关。当曲线的方向改变时， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 都要改变符号．

对于平面曲线，上述公式变成下列形式：

$$
\int_{\hat{A B}} P d x+Q d y=\int_{\hat{A B}}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s,
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 是曲线 $\overparen{A B}$ 上各点处与 $\overparen{A B}$ 同方向的切线的方向余弦．

## 上述公式的简单物理解释

注意：这里的解释仅做简单的理解，不追求严谨性，也更不作为严格的推导。

**物理意义功的理解**
第二类曲线积分可以用来计算变力沿曲线所做的功，设一个质点在变力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ 的作用下，沿有向曲线 $L$ 从点 $A$ 移动到点 $B$，则变力 $\vec{F}$ 所做的功 $W=\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy  ...(1) $。
    
在变力做功时，实际上是**可以把力分解为沿速度的切线力，和垂直速度方向的的法线力，而法线力并不做功，因此，只要计算切线力做功即可** 。 他体现了做功与曲线弧长元素上力的分量之间的关系。

如下图，一个质点在力$F$的作用下，沿着曲线$s$行驶，取一个曲线微元观察，$\vec{\tau}$代表速度方向， 与$\vec{\tau}$垂直的$n$代表法线方向 ，$Pi$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\alpha$, ，$Qj$与$\vec{\tau}$ 夹角为 $\beta$

![图片](/uploads/2025-05/75190a.jpg)
 
把力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ ,理解为$F$ 分解为两个力$P,Q$。 
 
然后，对于$P$力再分解为沿着$\vec{\tau}$轴的力$P(x,y) cos \alpha$ 和沿着$n$轴的力 $P(x,y) sin \alpha$ 。
 
同样，对于$Q$力再分解为沿着$\vec{\tau}$ 的 $Q(x,y) cos \beta$ 力 和 沿着$n$轴的$Q(x,y) sin \beta$ 力

因为$P$力沿着$n$垂直不做功，所以$P(x,y) sin \alpha=0$ , 同样，$Q$ 沿着$n$垂直也不作用，所以 $Q(x,y) sin \beta=0$ ，因此最终力$F$做功为
$$
\boxed {
\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{L}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]ds 
}
$$

其中 $\cos\alpha$ ，和 $\cos\beta$ 是曲线 $L$ 上点 $(x,y)$ 处的切向量的方向余弦。

从做功的角度理解，上面公式**等式左边表示力与位移的数量积的方式求功，右边表示力投影到位移方向求功。** 两者相等。

这就是两类积分联系的物理解释。
 
> **不难发现，在上述过程中，我们采取了“算两次”的方法，我们采取两种不同的方法计算物体从A运动到B变力F所作的功，显然两次计算的结果应该相等，则构建了等式.**

#### 核心总结
对于公式
$$
\boxed{
\int_L P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_L(P(x, y) \cos \alpha+Q(x, y) \cos \beta) d s
}
$$

> **上述公式左边可以理解为将力和位移都分解为 $x$ 和 $y$ 方向分别求解再相加来求功，右边可以理解为将力投影到位移方向再相乘求功。于是，我们也可以理解了书上的公式**

$$
\int_{\Gamma} A \cdot d r =\int_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

>**等式左边表示力与位移的数量积的方式求功，右边表示力投影到位移方向（速度方向）求功。**

**物理意义质量的理解**
受上述内容的启发，我们不由得思考，能否从质量的角度将两类曲线积分构建起联系，毕竟在第一类曲线积分中， 我们首先接触的是从质量密度的角度理解第一类曲线积分的物理含义。

我们将 $\int_L f d s$ 转化为 $\int_L f_1 d x+f_2 d y$ ，将一根棒的质量用两根棒的质量和表示，右边是两项，那我们将左边的 $f$ 也拆成两项，使左边的两项和右边的两项分别对应相等即可．

记 $f=F_1+F_2$ ，则 $\int_L f S=\int_L\left(F_1+F_2\right) d s$ ，要使等式成立
即令 
$\int_L F_1 d s=\int_L f_1 d x$, 
$\int_L F_2 d s=\int_L f_2 d y$

由定积分的应用可知 $d s=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} d x$

则 $\int_L F_1 d s=\int_L F_1 \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2} d x$
同理 $\int_L F_2 d s=\int_L F_2 \sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^2} d y$

则有 $F_1 \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}=f_1$ ，即 $F_1=f_1 \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}}$ ，同理 $F_2=f_2 \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^2}}$

又在点 $(x, y)$ 处，切向量的方向余弦为 $\left(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^2}}\right)$ ，将其记为 $(\cos \alpha, \cos \beta)$

则 $F_1=f_1 \cos \alpha, ~ F_2=f_2 \cos \beta$ ，即我们只要令第一根棒的密度函数为 $F_1 / \cos \alpha$ ，第二根棒的密度函数为 $F_2 / \cos \beta$ ，就可以将一根曲棒的质量拆成两根直棒的质量．

`例`设 $L$ 为从点 $(0,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 到 $(1,1)$ 的曲线弧，化第二类曲 线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 为第一类曲线积分.
解 $L: x^2+y^2=2 x$ ，两边关于 $x$ 求导： $2 x+2 y y^{\prime}=2$ ， 即

$$
y^{\prime}=\frac{1-x}{y}, \quad \mathrm{~d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{1+\left(\frac{1-x}{y}\right)^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{y} \mathrm{~d} x
$$

故 $\cos \alpha=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s}=y=\sqrt{2 x-x^2} ， \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=\sqrt{1-y^2}=1-x$ ，因此
因此 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L\left[P(x, y) \sqrt{2 x-x^2}+Q(x, y)(1-x)\right] \mathrm{d} s$.

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