事件的相互独立性

日期: 2023-01-03 08:17 查看: 81 次

称两个事件 $A, B$ 是相互独立的，如果

$$
P(A B)=P(A) P(B)
$$

当 $P(A)>0$ 时. 上式等价于

$$
P(B \mid A)=P(B)
$$

独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率.
注意: 相互独立与互不相容有何区别?
独立性往往蕴含在事物的内部.

例 6 抛郑两枚均匀硬币次次, $A=\{$ 第一枚出现正面 $\}, B=\{$ 第二枚出现正面 $\}$ 则: 事件 $A$ 与 $B$ 是独立的.
解 不难计算

$$
\begin{gathered}
P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2}, P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{1}{4} \\
\text { 可见 } \quad P(B)=P(B \mid A), P(A B)=P(A) P(B)
\end{gathered}
$$

即事件 $A$ 与 $B$ 是独立的.
定义2 若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则
$A$ 与 $\bar{B} ; \bar{A}$ 与 $B ; \bar{A}$ 与 $\bar{B} ;$
也相互独立. 即有

$$
\begin{aligned}
& P(A B)=P(A) P(B) \\
& P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B})
\end{aligned}
$$

相应可列出其它等式.

定义3 称事件组 $A, B, C$ 是两两独立的，有

$$
\begin{aligned}
& P(A B)=P(A) P(B) \\
& P(B C)=P(B) P(C) \\
& P(A C)=P(A) P(C)
\end{aligned}
$$

定义4 称事件组 $A, B, C$ 是相互独立的，有

$$
\begin{gathered}
P(A B)=P(A) P(B) \\
P(B C)=P(B) P(C) \\
P(A C)=P(A) P(C) \\
P(A B C)=P(A) P(B) P(C)
\end{gathered}
$$

独立性的定义可推广到 $n$ 个事件上去.
特别地，当事件 $A_1, A_2, \ldots A_n$, 相互独立时，有

$$
P\left(A_1 A_2 \ldots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \ldots P\left(A_n\right)
$$

$$
P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 \ldots \bar{A}_n\right)=P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2\right) \ldots P\left(\bar{A}_n\right)
$$

例 7
系统可靠性问题
一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划.
所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率.
以下讨论中，假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.

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