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事件的相互独立性
日期:
2023-01-03 08:17
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称两个事件 $A, B$ 是相互独立的,如果 $$ P(A B)=P(A) P(B) $$ 当 $P(A)>0$ 时. 上式等价于 $$ P(B \mid A)=P(B) $$ 独立性的直观意义是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率. 注意: 相互独立与互不相容有何区别? 独立性往往蕴含在事物的内部. 例 6 抛郑两枚均匀硬币次次, $A=\{$ 第一枚出现正面 $\}, B=\{$ 第二枚出现正面 $\}$ 则: 事件 $A$ 与 $B$ 是独立的. 解 不难计算 $$ \begin{gathered} P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{2}, P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{1}{4} \\ \text { 可见 } \quad P(B)=P(B \mid A), P(A B)=P(A) P(B) \end{gathered} $$ 即事件 $A$ 与 $B$ 是独立的. 定义2 若事件 $A$ 与 $B$ 独立,则 $A$ 与 $\bar{B} ; \bar{A}$ 与 $B ; \bar{A}$ 与 $\bar{B} ;$ 也相互独立. 即有 $$ \begin{aligned} & P(A B)=P(A) P(B) \\ & P(\bar{A} \bar{B})=P(\bar{A}) P(\bar{B}) \end{aligned} $$ 相应可列出其它等式. 定义3 称事件组 $A, B, C$ 是两两独立的,有 $$ \begin{aligned} & P(A B)=P(A) P(B) \\ & P(B C)=P(B) P(C) \\ & P(A C)=P(A) P(C) \end{aligned} $$ 定义4 称事件组 $A, B, C$ 是相互独立的,有 $$ \begin{gathered} P(A B)=P(A) P(B) \\ P(B C)=P(B) P(C) \\ P(A C)=P(A) P(C) \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C) \end{gathered} $$ 独立性的定义可推广到 $n$ 个事件上去. 特别地,当事件 $A_1, A_2, \ldots A_n$, 相互独立时,有 $$ P\left(A_1 A_2 \ldots A_n\right)=P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) \ldots P\left(A_n\right) $$ $$ P\left(\bar{A}_1 \bar{A}_2 \ldots \bar{A}_n\right)=P\left(\bar{A}_1\right) P\left(\bar{A}_2\right) \ldots P\left(\bar{A}_n\right) $$ 例 7 系统可靠性问题 一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划. 所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率. 以下讨论中,假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的. 
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2023-01-03 08:17
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