最后更新: 2025-04-09 10:00 查看: 540 次反馈刷题

格林公式的证明

## 格林公式的证明
**定理1** 设有界闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$ \boxed{
\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
}
$$ 
  
其中 $L$ 是 $D$ 的正向边界曲线.
上式称为**格林公式**，它告诉我们平面闭区域 $D$上的二重积分可以通过沿闭区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 的曲线积分来表达.

简证： 先假设穿过区域 $D$ 内部且平行于坐标轴的直线与 $D$ 的边界曲线的交点 至多为两个，即闭区域 $D$ 既是 $X$ 型区域又是 $Y$ 型区域的情形.
由于区域 $D$ 是 $X$ 型的，故 $D$ 可以表示为 $D=\left\{(x, y) \mid \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x), a \leq x \leq b\right\}$
即它的上、下边界分别是 $y=\varphi_2(x)$ 、 $y=\varphi_1(x)$ ，左、右两侧的边界分别是直 线 $x=a 、 x=b \quad$ (如图 7-84).
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因为 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 上连续，由二重积分的计算法，有

$$
\iint_{D_1} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} y=\int_a^b\left[P\left(x, \varphi_2(x)\right)-P\left(x, \varphi_1(x)\right)\right] \mathrm{d} x ，
$$

另一方面，由曲线积分的性质与计算法，则有

$$
\begin{aligned}
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x & =\int_{L_1} P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{L_2} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_a^b P\left(x, \varphi_1(x)\right) \mathrm{d} x+0+\int_b^a P\left(x, \varphi_2(x)\right) \mathrm{d} x+0 \\
& =\int_a^b\left[P\left(x, \varphi_2(x)\right)-P\left(x, \varphi_1(x)\right)\right] \mathrm{d} x,
\end{aligned} 
$$

可见， 
$$
\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\int_L P(x, y) \mathrm{d} x  ...(2) 
$$

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又因为区域 $D$ 是 $Y$ 型的，故 $D$ 可以表示为

$$
D=\left\{(x, y) \mid \psi_1(x) \leq y \leq \psi_2(x), c \leq x \leq d\right\} \text { ， }
$$

即它的左、右两侧的边界分别是 $y=\psi_1(x) 、 y=\psi_2(x)$ ，上、下边界分别是直线 $y=d 、 y=c$ （见图 7-85)
因为 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 上连续，由二重积分的计算法，则有

$$
\begin{aligned}
\iint_{D_2} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} \frac{\partial Q^2}{\partial x} \mathrm{~d} x \\
& =\int_c^d\left[Q\left(\psi_2(y), y\right)-Q\left(\psi_1(y), y\right)\right] \mathrm{d} y,
\end{aligned}
$$

另一方面，由曲线积分的性质与计算法，则有

$$
\begin{aligned}
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{L_4} Q(x, y) \mathrm{d} y+\int_{L_3} Q(x, y) \mathrm{d} y \\
& =0+\int_c^d Q\left(\psi_2(y), y\right) \mathrm{d} y+0+\int_d^c Q\left(\psi_1(y), y\right) \mathrm{d} y=\int_c^d\left[Q\left(\psi_2(y), y\right)-Q\left(\psi_1(y), y\right)\right] \mathrm{d} y  
\end{aligned}
$$

可见，
$$
\iint_D \frac{\partial Q^2}{\partial x} \mathrm{~d} x
\mathrm{~d} y=\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y ...(3)
$$

由于区域 $D$ 既可表示成 $X$ 型，也可表示成 $Y$ 型，上述 (2)、(3) 同时成立， 两式相加得

$$
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

上述区域 $D$ 既是 $X$ 型，又是 $Y$ 型，即穿过 $D$ 且平行于坐标轴的直线与 $D$ 的 边界曲线的交点不超过两点，若超过两点，则可引进辅助曲线，将 $D$ 分成有限个 部分区域，使得每个部分区域都是 $X$ 型或是 $Y$ 型.
比如，如图 7-86 所示，用直线 $\overline{A B C}$
将区域 $D$ 分成 $D_1 、 D_2 、 D_3$ ，它们都满足 (2)、（3）的条件， $L_i(i=1,2,3)$ 分别是$D_i(i=1,2,3)$ 的边界与 $L$ 相重合的部分地区
且 $L_1+L_2+L_3=L$ ，
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比如，如图 7-86 所示，用直线 $\overline{A B C}$ 将区域 $D$ 分成 $D_1 、 D_2 、 D_3$ ，它们都满 足 (2)、(3) 的条件， $L_i(i=1,2,3)$ 分别是 $D_i(i=1,2,3)$ 的边界与 $L$ 相重合的部分 地区，且 $L_1+L_2+L_3=L$ ，
于是

$$
\begin{aligned}
& \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} d \mathrm{~d} y=\iint_{D_1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_3}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{L_1+\overline{C B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{L_2+\overline{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{L_3+\overline{B C}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \\
& =\int_{L_1+L_2+L_3} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\mathbb{D}_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

若区域 $D$ 是复连通的，即 $D$ 由几条闭曲线所围成. 我们可以在 $D$ 内引进一条 或几条辅助曲线把 $D$ "割开" 成单连通区域，例如，对于如图 7-87 所示的闭 区域而言，引进辅助线 $A B$ ，就把 $D$ "割开" 成单连通区域了，
可证

$$
\iint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \mathrm{d} y
$$

也成立.
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在格林公式 $\iint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 中取 $Q=x ， P=-y$ ，则得到计算平面区域面积的公式:

$$
\boxed{
A=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \oint_L x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x .
}
$$

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