格林公式举例

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 52 次更新导出Word

例 1 求星形线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ 所围区域的面积.
解 曲线的参数方程为 $x=a \cos ^3 t ， y=a \sin ^3 t ， t: 0 \rightarrow 2 \pi$ ，根据公式 (4) 有

$$
\begin{aligned}
A & =\frac{1}{2} \int_L x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi}\left[a \cos ^3 t\left(3 a \sin ^2 t \cos t\right)-a \sin ^3 t\left(-3 a \cos ^2 t \sin t\right)\right] \mathrm{d} t \\
& =\frac{3}{2} a^2 \int_0^{2 \pi} \sin ^2 t \cos ^2 t \mathrm{~d} t=\frac{3}{2} a^2 \int_0^{2 \pi} \frac{1}{8}(1-\cos 4 t) \mathrm{d} t \\
& =\frac{3}{16} a^2\left(t-\frac{1}{4} \sin 4 t\right)_0^{2 \pi}=\frac{3}{8} \pi a^2 .
\end{aligned}
$$

例 2 证明: 曲线积分 $\prod_L 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y$ 的值即为曲线 $L$ 所围区域 $D$ 的面积.
证 取 $P=2 y ， Q=3 x$ ，则

$$
\int_L 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial}{\partial x}(3 x)-\frac{\partial}{\partial y}(2 y)\right) \mathrm{dxd} y=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$

即为曲线 $L$ 所围区域 $D$ 的面积.

例 3 计算二重积分 $\iint_D \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以 $O(0,0) 、 A(1,1) 、 B(0,1)$ 为顶 点的三角形区域 (见图 7-88).
解 取 $P=0 ， Q=x \mathrm{e}^{-y^2}$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& \iint_D \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_L x \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y \\
& \quad=\int_{O A}+\int_{A B}+\int_{B O} \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y=\int_0^1 y \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y+0+0 \\
& =\left[-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y^2}\right]_0^1=-\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-1}-1\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 \mathrm{e}} .
\end{aligned}
$$

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例 4 计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.
取 $P=0 ， Q=\frac{1}{2} x^2 y$ ，则有

$$
\begin{aligned}
\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\frac{1}{2} \int_L x^2 y \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \cos ^2 t \sin t \cos t \mathrm{~d} t \\
& =-\frac{1}{2} \cdot\left[\frac{1}{4} \cos ^4 t\right]_0^{2 \pi}=0 .
\end{aligned}
$$

例 5 求 $\int_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=R^2$ 依逆时针方向.
解 由题意知， $P=-x^2 y, Q=x y^2, L$ 为区域边界的正向，故根据格林公式，有

$$
\mathfrak{D}_L x y^2 \mathrm{~d} y-x^2 y \mathrm{~d} x=\iint_D\left(y^2+x^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^R r^2 r \mathrm{~d} r=\frac{\pi R^4}{2} .
$$

例 6 计算曲线积分 $I=\int_{A B}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $A B$ 为 单位圆 $x^2+y^2=1$ 上从点 $A(1,0)$ 到 $B(-1,0)$ 的上半圆周.
解 引进辅助直线 $\overline{B A}: y=0, x:-1 \rightarrow 1 ， D$ 为由 $L=A B+\overline{B A}$ 所围的平面区 域 (见图 7-89)，
则

$$
I=\int_{4 B}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y
$$

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$$
\begin{aligned}
& I=\int_L\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y-\int_{\overline{A B}}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right) \mathrm{d} x+\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right) \mathrm{d} y \\
& =\iint_D\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-100\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^x \sin 2 y-y\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\int_{-1}^1 0 \mathrm{~d} x+0 \\
& =\iint_D\left(2 \mathrm{e}^x \cos 2 y-2 \mathrm{e}^x \cos 2 y+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+0=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{2} \pi .
\end{aligned}
$$

例 7 计算曲线积分 $I=\prod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 分别为
(1) $x^2+y^2=a^2$ 的正向边界闭曲线.
(2) 任意不经过原点的正向的简单闭曲线.
解 (1) 当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} ； P 、 Q$ 在原点不连续， 因此不能用格林公式，利用曲线积分的计算方法，可得

$$
I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\frac{1}{a^2}\left[\int_L x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\frac{1}{a^2} \int_0^{2 \pi}\left[a^2 \cos ^2 t+a^2 \sin ^2 t\right] \mathrm{d} t=2 \pi .\right.
$$

（2）当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ ； 若 $L$ 所围区域 $D$ 内不含原点（图 7-90）， 则 $I=\prod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\iint_D 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ；

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（2）当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ ；
若 $L$ 所围区域 $D$ 内含有原点 (见图 7-91)，

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例 7 计算曲线积分 $I=\prod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 分别为
(1) $x^2+y^2=a^2$ 的正向边界闭曲线. (2) 任意不经过原点的正向的简单闭曲线.
（2）当 $x^2+y^2 \neq 0$ 时， $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ ；
若 $L$ 所围区域 $D$ 内含有原点 (见图 7-91)，取 $C_{\varepsilon}: x^2+y^2=\varepsilon^2$ (顺时针)， 使 $C_{\varepsilon} \subset D ， C_{\varepsilon}$ 所围区域记为 $D_{\varepsilon}$ ，则

$$
\prod_{L+C \varepsilon} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\iint_{D / D_{\varepsilon}} 0 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 ＼mathrm{~ ， ~ 即 ~} I=\coprod_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\prod_{C_{\varepsilon}} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2} \text { ， }
$$

由 $-C_{\varepsilon}:\left\{\begin{array}{l}x=\varepsilon \cos \theta \\ y=\varepsilon \sin \theta\end{array}(\theta: 0 \rightarrow 2 \pi)\right.$ ，得 $\quad I=\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^2+y^2}=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta=2 \pi$ ；

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