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高等数学
第一章 函数、连续与极限
第二章 一元函数微分学
第三章 一元函数积分学
第四章 微分方程
第五章 向量与空间解析几何
第六章 多元函数微分学
第七章 多元函数积分学
本章思维导图
二重积分的概念
二重积分的定义
二重积分的性质
直角坐标系下二重积分的计算
X型区域上的二重积分
Y型区域上的二重积分
极坐标系下二重积分的计算
二重积分换元法
曲面的面积
质量与质心
平面薄片的转动惯量
三重积分的概念
利用直角坐标计算三重积分
利用柱面坐标计算三重积分
空间立体的体积
三重积分在物理中的应用
第一类曲线积分
对弧长曲线积分
曲线积分在物理上应用
第二类曲线积分
对坐标的曲线积分计算方法
两类曲线积分的关系
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)
对面积曲面积分的概念与性质
对面积曲面积分的物理应用
对坐标的曲面积分(第二类的曲面积分)
对坐标的曲面积分的概念和性质
对坐标的曲面积分的计算法
对坐标的曲面积分例子
两类曲面积分之间的关系
单连通区域及其正向边界
格林公式
格林公式举例
曲线积分与路径无关的等价条件
高斯公式
格林第一公式与第二公式
通量与散度
斯托克斯公式、环流量与旋度
第八章 无穷级数
附录1:微分表与积分表
附录2:麦克斯韦方程组
考研专区-高等数学公式
高数答疑QA
后记
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第七章 多元函数积分学
曲线积分与路径无关的等价条件
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2025-01-28 21:30
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曲线积分与路径无关的等价条件
习题训练
在研究平面力场的问题时,我们要考察场力所做的功是否与路径无关,这在数学上就是要考察曲线积分是否与路径无关. 设函数在区域内具有连续偏导数,如果对于 $G$ 内以点 $A$ 为起始点, 以点 $B$ 为 起终点的任意两条的曲线 $L_1 、 L_2$ (见下图),下列等式成立: $\quad \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ , 则称曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关. 否则则称与路径有关. {width=300px} 如果曲 线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在区域内与路径无关,而 $L$ 的起点为 $A\left(x_1, y_1\right)$ ,终点为 $B\left(x_2, y_2\right)$ ,那么曲线积分便可以记为 $\int_{\left(x_1, y_1\right)}^{\left(x_2, y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$. 从以上叙述可以看出,若曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,则有 $$ \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { , 即 } \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { , } $$ 或 $\int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ,从而有 $$ \boxed{ \int_{L_1+\left(-L_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0 } $$ 这里 $L_1+\left(-L_2\right)$ 为有向闭曲线,由点 $A 、 B$ 及 $L_1 、 L_2$ 的任意性,则得对 $G$ 内的任 一有向封闭曲线 $L , \oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$. 反之,若对 $G$ 内的任一封闭曲线有 $\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ,也可以推得曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关. 进一步,我们可以得到以下结论: ## 定理2 设区域 $G$ 为单连通区域,函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $G$ 上具有一阶连续 偏导数,则下列三个条件等价: (1) 曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,仅与起始点及终点有关; (2) 存在函数 $u=u(x, y)$ ,使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ,即 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分. (3) $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $G$ 内恒成立; 证明: 我们证明 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$ (1) $\Rightarrow$ (2) 设点 $M_0\left(x_0, y_0\right) , M(x, y)$ 是 $G$ 内两点,由于在 $G$ 内曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,从起点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 到终点 $M(x, y)$ 的曲线积分可以写为 $$ \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 当 $M_0$ 固定时,这个积分值取决于终点 $M(x, y)(M(x, y) \in G)$ ,因此它是 $x, y$ 的函 数,记为 $$ u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, \bar{y})} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 现在要证 $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y) , \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$. 由 (5) 式,有 $$ u(x+\Delta x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x+\Delta x)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 由于曲线积分与路径无关,可取从点 $M_0$ 到 $M$ ,然后沿平行于 $x$ 轴的直线段 从 $M$ 到 $N(x+\Delta x, y$ ) (见图 7-93),故 $u(x+\Delta x, y)=u(x, y)+\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ,$ 即 $u(x+\Delta x, y)-u(x, y)$ $$ =\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 因为直线段 $M N$ 的方程为 $y=$ 常数,按对坐标的 曲线积分的计算法,就有 $$ u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x $$ {width=300px} $$ u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x , $$ 其中 $\xi$ 介于 $x 、 x+\Delta x$ 之间. 因此 $\quad \frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y)-u(x, y)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} P(\xi, y)=P(x, y)$ ; 同理可证: $$ \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y) . $$ (2) $\Rightarrow$ (3) 若存在一函数 $u=u(x, y)$ ,使 $\mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ ,则 有 $$ \frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y), \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y), $$ 由 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial P}{\partial y} , \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $G$ 内连续, 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ ,即在 $G$ 内恒成立 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$. (3) $\Rightarrow$ (1) 取 $C$ 为 $G$ 内的任一封闭曲线,由 $G$ 是单连通区域,故 $C$ 所 围区域 $D \subset G$ ,从而在闭区域 $D$ 上,函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 具有连续偏导数,且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 恒成立,则由格林公式,有 $$ \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\pm \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 即得命题 (1) 成立. 注 由此可见,若 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分,则可由 $$ u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 得到原函数 $u(x, y)$ (其中 $\left(x_0, y_0\right)$ 是任意固定的一 点),进一步,由于此曲线积分与路径无关,因此可 选择平行于坐标轴的直线段所连接的折线为积分 路径 (当然这些折线全属于 $G$ ),如图 7-94,若 沿 $M_0 N_1 M$ ,其中 $N_1\left(x, y_0\right)$ ,则在线段 $\overline{M_0 N_1}$ 上: $$ y=y_0, x: x_0 \rightarrow x \text { ,故 } $$ {width=300px} 在线段 $\overline{N_1 M}$ 上: $x=x, y: y_0 \rightarrow y$ ,故 $$ \int_{N_1 M} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 因此 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y . $$ 同理也可选择折线 $M_0 N_2 M$ ,其中 $N_2\left(x_0 y\right)$ ,则有 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q\left(x_0, y\right) \mathrm{d} y . $$ 若 $u(x, y)$ 是所求的原函数,则 $u(x, y)+C$ 也是所求的原函数,这表明 $u(x, y)$ 不唯 ## 曲线积分与路径无关的物理解释 在高中学习过万有引力、静电场力等,这些力都是保守力,详见[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) ,而保守力做功最大的好处是与路径无关。 最经典的,一个小球从A下落到B,不论是自由落体下落,还是沿着斜面下落,或者沿着曲面下落,中间怎么走的不重要,重力做功的大小只与A,B的起始位置有关,如下图 {width=500px} 下面我们研究一下重力做功的问题,参考下图,一个小球受到万有引力的作用从A运动到B点,该模型中,求变力在曲线上做功,即为第二类曲线积分。 任意k点,变化的引力为 $F=\frac{G M m}{r^2}$ ,其中 $r^2=x^2+y^2$ ,立即推,$F=\frac{G M m}{x^2+y^2}$ 。  设引力与 y 轴夹角设为 $\theta$ ,小球所受引力在 x 轴和 y 轴的分量,可表示为 $F \sin \theta=F_x=P$ $F \cos \theta=F_y=Q$ 这样,整个功就是 $W_L=\int_L P d x+Q d y$ 。 (因为P是水平方向,所以我们只关系Pdx,而Pdy做功始终为零,同样也只关系Qdy,Qdx做功也始终为零) 根据勾股定理,可得出, $\sin \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, ~ \cos \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 所以,$P=F \sin \theta=\frac{G M m x}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} ; Q=F \cos \theta=\frac{G M m y}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ 现在我们计算一下 $\frac{\partial P}{\partial y} $ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 可以发现他们相等 即积分结果与路径无关,需要满足下面条件。 $$ \boxed{ \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} } $$ 可以证明,上面通过简单的示例退出的结论适合整个曲线积分。 ## 格林公式与柯西-黎曼方程比较 假设你在山上,山上布满了密密麻麻的网格,这些网格你可以想想为$f(x,y)$生成的二维曲面。 所谓**解析函数**就是要求,这些网格没有“㓊”这是第一层意思,也是最直接的意思。 但是直接证明这些网格没有㓊比较困难,因此,我们就使用“**没有㓊**”的等价命题:你可以沿着网格到达山上的任何地方,这是等价命题的第二层意思。 再进一步,假设你指定山上一个点(如下图随机的一个红点),那么你从山上任何地方都可以到达这个红点,这是第三层意思。这三层意思虽然表述不同,但是可以发现他们本质是一样的。 {width=380px} 那怎么把上面的“自然语言”转换为“数学语言”呢?既然沿着任意路径都能到达红点,那我们先取两个特殊的路径:X轴(实轴)和Y轴(虚轴),自然沿着这2个路径一定能够到达红点。为此建立如下坐标系: {width=380px} 考虑两个变化量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ ,则 $$ \Delta z=\Delta x+i \Delta y $$ 详见 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=851 `例`判别下列表达式是否是某个函数的全微分,若是,求此表达式的原函 数. (1) $y \cos x \mathrm{~d} x+\left(3 y^2+\sin x\right) \mathrm{d} y$; (2) $\left(1-2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x-(x+y)^2 \mathrm{~d} y$. 解 (1) 由 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\cos x$ ,故在整个平面上,表达式是某个函数的全微分, 因此取 $\left(x_0, y_0\right)=(0,0)$ ,则 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_0^x 0 \mathrm{~d} x+\int_0^y\left(3 y^2+\sin x\right) \mathrm{d} y=y^3+y \sin x+C . $$ (2)由 $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y)=1-2 x y-y^2$ ,则 $u=x-x^2 y-x y^2+C(y)$ , 又 $\frac{\partial u}{\partial y}=-x^2-2 x y+C^{\prime}(y)=Q(x, y)=-(x+y)^2$ ,得 $C^{\prime}(y)=-y^2$ , 即 $$ C(y)=-\frac{1}{3} y^3+C \text { , } $$ 故 $$ u(x, y)=x-x^2 y-x y^2+C(y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C . $$ $$ u(x, y)=x-x^2 y-x y^2+C(y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C . $$ 或者 $\mathrm{d} u=\left(1-2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x-(x+y)^2 \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} x-y^2 \mathrm{~d} x-x^2 \mathrm{~d} y-2 x y \mathrm{~d} y-y^2 \mathrm{~d} y$ $$ \begin{aligned} & =\mathrm{d} x-y \mathrm{~d}\left(x^2\right)-y^2 \mathrm{~d} x-x^2 \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d}\left(y^2\right)-\mathrm{d}\left(\frac{1}{3} y^3\right) \\ & =\mathrm{d}\left(x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3\right), \end{aligned} $$ 故 $u(x, y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C$. `例`计算曲线积分 $I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y$ ,其中 $L=A B$ 为沿曲 线 $y=x^2+1$ 从点 $A(0,1)$ 到点 $B(1,2)$ 的一段弧. 解 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=12 x y-3 y^2$ ,故在 $x O y$ 平 面上该曲线积分与路径无关,现取折线: $\overline{A C} 、 \overline{C B}$ (点 $C(1,1)$ ),见图 7-95,  例 9 计算曲线积分 $I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y$ ,其中 $L=A B$ 为沿曲 线 $y=x^2+1$ 从点 $A(0,1)$ 到点 $B(1,2)$ 的一段弧. 解 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=12 x y-3 y^2$ ,故在 $x O y$ 平面上该曲线积分与路径无关,现取折 线: $\overline{A C} 、 \overline{C B}$ (点 $C(1,1))$ ,见图 7-95, 则有 $$ \begin{gathered} I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y=\int_{\overline{A C}}+\int_{C B}\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y \\ =\int_0^1(6 x-1) \mathrm{d} x+\int_1^2\left(6 y-3 y^2\right) \mathrm{d} y=3 x^2-[x]_0^1+3 y^2-\left[y^3\right]_1^2=4 . \end{gathered} $$ ## 曲线积分的基本定理 第一类曲线积分和第二类曲线积分如下图所示 {width=600px} 而格林公式说的就是平面积分可通过其边界的积分来计算,如下图所示。 {width=400px}
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