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第七章 多元函数积分学
曲线积分与路径无关的等价条件
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2025-04-09 11:18
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曲线积分与路径无关的等价条件
## 曲线积分与路径无关的等价条件 在研究平面力场的问题时,我们要考察场力所做的功是否与路径无关,这在数学上就是要考察曲线积分是否与路径无关. 设函数在区域内具有连续偏导数,如果对于 $G$ 内以点 $A$ 为起始点, 以点 $B$ 为 起终点的任意两条的曲线 $L_1 、 L_2$ (见下图),下列等式成立: $\quad \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ , 则称曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关. 否则则称与路径有关. {width=300px} 如果曲 线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在区域内与路径无关,而 $L$ 的起点为 $A\left(x_1, y_1\right)$ ,终点为 $B\left(x_2, y_2\right)$ ,那么曲线积分便可以记为 $\int_{\left(x_1, y_1\right)}^{\left(x_2, y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$. 从以上叙述可以看出,若曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,则有 $$ \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { , 即 } \int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { , } $$ 或 $\int_{L_1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{-L_2} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ,从而有 $$ \boxed{ \int_{L_1+\left(-L_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0 } $$ 这里 $L_1+\left(-L_2\right)$ 为有向闭曲线,由点 $A 、 B$ 及 $L_1 、 L_2$ 的任意性,则得对 $G$ 内的任 一有向封闭曲线 $L , \oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$. 反之,若对 $G$ 内的任一封闭曲线有 $\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ,也可以推得曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关. 进一步,我们可以得到以下结论: ## 定理2 设区域 $G$ 为单连通区域,函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $G$ 上具有一阶连续 偏导数,则下列三个条件等价: (1) 曲线积分 $\int_l P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,仅与起始点及终点有关; (2) 存在函数 $u=u(x, y)$ ,使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ,即 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分. (3) $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $G$ 内恒成立; 证明: 我们证明 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$ (1) $\Rightarrow$ (2) 设点 $M_0\left(x_0, y_0\right) , M(x, y)$ 是 $G$ 内两点,由于在 $G$ 内曲线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关,从起点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 到终点 $M(x, y)$ 的曲线积分可以写为 $$ \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 当 $M_0$ 固定时,这个积分值取决于终点 $M(x, y)(M(x, y) \in G)$ ,因此它是 $x, y$ 的函 数,记为 $$ u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, \bar{y})} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 现在要证 $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y) , \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y)$. 由 (5) 式,有 $$ u(x+\Delta x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x+\Delta x)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 由于曲线积分与路径无关,可取从点 $M_0$ 到 $M$ ,然后沿平行于 $x$ 轴的直线段 从 $M$ 到 $N(x+\Delta x, y$ ) (见图 7-93),故 $u(x+\Delta x, y)=u(x, y)+\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y ,$ 即 $u(x+\Delta x, y)-u(x, y)$ $$ =\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 因为直线段 $M N$ 的方程为 $y=$ 常数,按对坐标的 曲线积分的计算法,就有 $$ u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x $$ {width=300px} $$ u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_x^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x=P(\xi, y) \Delta x , $$ 其中 $\xi$ 介于 $x 、 x+\Delta x$ 之间. 因此 $\quad \frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y)-u(x, y)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} P(\xi, y)=P(x, y)$ ; 同理可证: $$ \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y) . $$ (2) $\Rightarrow$ (3) 若存在一函数 $u=u(x, y)$ ,使 $\mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ ,则 有 $$ \frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y), \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y), $$ 由 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial P}{\partial y} , \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $G$ 内连续, 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ ,即在 $G$ 内恒成立 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$. (3) $\Rightarrow$ (1) 取 $C$ 为 $G$ 内的任一封闭曲线,由 $G$ 是单连通区域,故 $C$ 所 围区域 $D \subset G$ ,从而在闭区域 $D$ 上,函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 具有连续偏导数,且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 恒成立,则由格林公式,有 $$ \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\pm \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 即得命题 (1) 成立. 注 由此可见,若 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分,则可由 $$ u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y $$ 得到原函数 $u(x, y)$ (其中 $\left(x_0, y_0\right)$ 是任意固定的一 点),进一步,由于此曲线积分与路径无关,因此可 选择平行于坐标轴的直线段所连接的折线为积分 路径 (当然这些折线全属于 $G$ ),如图 7-94,若 沿 $M_0 N_1 M$ ,其中 $N_1\left(x, y_0\right)$ ,则在线段 $\overline{M_0 N_1}$ 上: $$ y=y_0, x: x_0 \rightarrow x \text { ,故 } $$ {width=300px} 在线段 $\overline{N_1 M}$ 上: $x=x, y: y_0 \rightarrow y$ ,故 $$ \int_{N_1 M} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y , $$ 因此 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y . $$ 同理也可选择折线 $M_0 N_2 M$ ,其中 $N_2\left(x_0 y\right)$ ,则有 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P(x, y) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q\left(x_0, y\right) \mathrm{d} y . $$ 若 $u(x, y)$ 是所求的原函数,则 $u(x, y)+C$ 也是所求的原函数,这表明 $u(x, y)$ 不唯 ## 曲线积分与路径无关的物理解释 在高中学习过万有引力、静电场力等,这些力都是保守力,详见[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) ,而保守力做功最大的好处是与路径无关。 最经典的,一个小球从A下落到B,不论是自由落体下落,还是沿着斜面下落,或者沿着曲面下落,中间怎么走的不重要,重力做功的大小只与A,B的起始位置有关,如下图 {width=500px} 下面我们研究一下重力做功的问题,参考下图,一个小球受到万有引力的作用从A运动到B点,该模型中,求变力在曲线上做功,即为第二类曲线积分。 任意k点,变化的引力为 $F=\frac{G M m}{r^2}$ ,其中 $r^2=x^2+y^2$ ,立即推,$F=\frac{G M m}{x^2+y^2}$ 。  设引力与 y 轴夹角设为 $\theta$ ,小球所受引力在 x 轴和 y 轴的分量,可表示为 $F \sin \theta=F_x=P$ $F \cos \theta=F_y=Q$ 这样,整个功就是 $W_L=\int_L P d x+Q d y$ 。 (因为P是水平方向,所以我们只关系Pdx,而Pdy做功始终为零,同样也只关系Qdy,Qdx做功也始终为零) 根据勾股定理,可得出, $\sin \theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, ~ \cos \theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 所以,$P=F \sin \theta=\frac{G M m x}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} ; Q=F \cos \theta=\frac{G M m y}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ 现在我们计算一下 $\frac{\partial P}{\partial y} $ 和 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 可以发现他们相等 即积分结果与路径无关,需要满足下面条件。 $$ \boxed{ \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} } $$ 可以证明,上面通过简单的示例退出的结论适合整个曲线积分。 ## 格林公式与柯西-黎曼方程比较 假设你在山上,山上布满了密密麻麻的网格,这些网格你可以想想为$f(x,y)$生成的二维曲面。 所谓**解析函数**就是要求,这些网格没有“㓊”这是第一层意思,也是最直接的意思。 但是直接证明这些网格没有㓊比较困难,因此,我们就使用“**没有㓊**”的等价命题:你可以沿着网格到达山上的任何地方,这是等价命题的第二层意思。 再进一步,假设你指定山上一个点(如下图随机的一个红点),那么你从山上任何地方都可以到达这个红点,这是第三层意思。这三层意思虽然表述不同,但是可以发现他们本质是一样的。 {width=380px} 那怎么把上面的“自然语言”转换为“数学语言”呢?既然沿着任意路径都能到达红点,那我们先取两个特殊的路径:X轴(实轴)和Y轴(虚轴),自然沿着这2个路径一定能够到达红点。为此建立如下坐标系: {width=380px} 考虑两个变化量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ ,则 $$ \Delta z=\Delta x+i \Delta y $$ 详见 https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=851 `例`判别下列表达式是否是某个函数的全微分,若是,求此表达式的原函 数. (1) $y \cos x \mathrm{~d} x+\left(3 y^2+\sin x\right) \mathrm{d} y$; (2) $\left(1-2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x-(x+y)^2 \mathrm{~d} y$. 解 (1) 由 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\cos x$ ,故在整个平面上,表达式是某个函数的全微分, 因此取 $\left(x_0, y_0\right)=(0,0)$ ,则 $$ u(x, y)=\int_{x_0}^x P\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_0^x 0 \mathrm{~d} x+\int_0^y\left(3 y^2+\sin x\right) \mathrm{d} y=y^3+y \sin x+C . $$ (2)由 $\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y)=1-2 x y-y^2$ ,则 $u=x-x^2 y-x y^2+C(y)$ , 又 $\frac{\partial u}{\partial y}=-x^2-2 x y+C^{\prime}(y)=Q(x, y)=-(x+y)^2$ ,得 $C^{\prime}(y)=-y^2$ , 即 $$ C(y)=-\frac{1}{3} y^3+C \text { , } $$ 故 $$ u(x, y)=x-x^2 y-x y^2+C(y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C . $$ $$ u(x, y)=x-x^2 y-x y^2+C(y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C . $$ 或者 $\mathrm{d} u=\left(1-2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x-(x+y)^2 \mathrm{~d} y=\mathrm{d} x-2 x y \mathrm{~d} x-y^2 \mathrm{~d} x-x^2 \mathrm{~d} y-2 x y \mathrm{~d} y-y^2 \mathrm{~d} y$ $$ \begin{aligned} & =\mathrm{d} x-y \mathrm{~d}\left(x^2\right)-y^2 \mathrm{~d} x-x^2 \mathrm{~d} y-x \mathrm{~d}\left(y^2\right)-\mathrm{d}\left(\frac{1}{3} y^3\right) \\ & =\mathrm{d}\left(x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3\right), \end{aligned} $$ 故 $u(x, y)=x-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3+C$. `例`计算曲线积分 $I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y$ ,其中 $L=A B$ 为沿曲 线 $y=x^2+1$ 从点 $A(0,1)$ 到点 $B(1,2)$ 的一段弧. 解 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=12 x y-3 y^2$ ,故在 $x O y$ 平 面上该曲线积分与路径无关,现取折线: $\overline{A C} 、 \overline{C B}$ (点 $C(1,1)$ ),见图 7-95,  例 9 计算曲线积分 $I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y$ ,其中 $L=A B$ 为沿曲 线 $y=x^2+1$ 从点 $A(0,1)$ 到点 $B(1,2)$ 的一段弧. 解 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=12 x y-3 y^2$ ,故在 $x O y$ 平面上该曲线积分与路径无关,现取折 线: $\overline{A C} 、 \overline{C B}$ (点 $C(1,1))$ ,见图 7-95, 则有 $$ \begin{gathered} I=\int_L\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y=\int_{\overline{A C}}+\int_{C B}\left(6 x y^2-y^3\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^2 y-3 x y^2\right) \mathrm{d} y \\ =\int_0^1(6 x-1) \mathrm{d} x+\int_1^2\left(6 y-3 y^2\right) \mathrm{d} y=3 x^2-[x]_0^1+3 y^2-\left[y^3\right]_1^2=4 . \end{gathered} $$ ## 曲线积分的基本定理 第一类曲线积分和第二类曲线积分如下图所示 {width=600px} 而格林公式说的就是平面积分可通过其边界的积分来计算,如下图所示。 {width=400px}
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