最后更新: 2025-07-24 22:03 查看: 483 次反馈同步训练

第二类曲面积分（对坐标轴的曲面积分）

## 对坐标曲面积分的概念
设一河流中每点处水的流速与时间无关，只与点的位置有关，在点 $M(x, y, z)$ 处的流速为 $v(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$ ，在河中放一双侧曲面 $S$ ，并选定 $S$ 的一侧，求单位时间内水流向 $S$ 指定一侧的质量$\Phi$  （称为水流量，设水的密度为1）。
 
### 情况1
先看一种特殊情况：设 $v$ 为常向量，$S$ 为有向平面 $\pi$（其方向如单位法向量 $e_n$ 所指）上的一块，如图11．19，从图上直观可看出，单位时间内流过 $S$的质量就是以 $S$ 为底，$v$ 为斜高的代数体积（即可取负值）：

$$
\Phi=S v \cos \varphi= v \cdot e_n S
$$

这里$e_n S $ 相当于有效面积。

![图片](/uploads/2025-04/892256.jpg){width=300px}

当 $\Phi$ 为正时，此时 $\varphi$ 为锐角，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向一致；
当$\Phi$ 为负时，说明水的流向与$S$ 的指定侧方向相反。
这样水流量 $\Phi$ 不但刻画了单位时间内水流经过曲面 $S$ 的大小，而且说明了水的流向，这也是规定曲面方向的实际意义．

## 情况2 一般情况：
考虑水流通过一曲面的情况，如下图，采用极限思想，先分割，在求值，在累加，于是有

![图片](/uploads/2025-04/657aad.jpg)
 
（1）分割：将 $S$ 分割为 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ $(i=1,2, \cdots, n)$ ，其面积也记为 $\Delta S_i$ ；
（2）近似代替：在 $\Delta S_i$ 上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，通过 $\Delta S_i$ 的流量

$$
\begin{aligned}
\Delta \Phi_i & \approx v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i \\
& =v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& \quad(i=1,2, \cdots, n),
\end{aligned}
$$

$e _n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 为曲面 $S$ 在点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 处与曲面侧方向一致的单位法向量；

（3）求和：总流量 $\Phi=\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i \approx \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i$

$$
=\sum_{i=1}^n v_i\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

（4）取极限：

$$
\begin{aligned}
\Phi & =\sum_{i=1}^n \Delta \Phi_i=\lim _{\lambda=0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \cdot e_n\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i \\
& =\iint_S v(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ 。

> **第二类曲面积分的物理意义是：流体流过又向曲面的流量**

抽去上式的物理意义得：

## 第二类曲线积分的定义
 设 $S$ 为光滑的有向曲面，$e_n(x, y, z)$ 为 $S$ 上 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， $F (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ 为 $S$ 上的有界函数，若 $\iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S$ 存在，则称此积分为向量值函数 $F(x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分，记为 $\iint_S F (x, y, z) \cdot d S$ ，即

$$
\iint_S \boldsymbol{ F (x, y, z)} \cdot d S=\iint_S F (x, y, z) \cdot  \boldsymbol{e _n(x, y, z)} d S
$$

由定义可知，向量值函数 $F (x, y, z)$ 在定向曲面 $S$ 上的第二类曲面积分就是数量值函数 $F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上的第一类曲面积分，若令 $e _n(x, y, z)=\cos \alpha i+\cos \beta j+\cos \gamma k$ ，则

$$
F (x, y, z) \cdot e _n(x, y, z)=P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma
$$

积分
$$
\begin{aligned}
& \iint_S F(x, y, z) \cdot d S \\
= & \iint_S F(x, y, z) \cdot e_n(x, y, z) d S \\
= & \iint_S[P(x, y, z) \cos \alpha+Q(x, y, z) \cos \beta+R(x, y, z) \cos \gamma] d S \\
= & \iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S+\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S+\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S
\end{aligned}
$$

可以证明 $\iint_S P(x, y, z) \cos \alpha d S$ 为 $\iint_S P(x, y, z) d y d z$ ,

$\iint_S Q(x, y, z) \cos \beta d S$ 为 $\iint_S Q(x,y, z) d z d x$,

$\iint_S R(x, y, z) \cos \gamma d S$ 为 $\iint_S R(x, y, z) d x d y$ ，则第二类曲面积分的坐标表达式为

$$
\boxed{
\iint_S F (x, y, z) \cdot d S =\iint_S P(x, y, z) d y d z+Q(x, y, z) d z d x+R(x, y, z) d x d y
}
$$

所以第二类曲面积分又称为对坐标的曲面积分．

### 如何理解曲面积分的积分微元
在上面积分计算里，使用了 
$\cos \alpha  dS= dy dz$, $\cos \beta dS= dz dx$,
$\cos \gamma dS= dx dy$  关于他们的意义和推导请见 [两类曲面积分的联系](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=428)

## 向量表示与性质 
在应用中出现较多的是

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

这种合并起来的形式. 为简单记，上式记为

$$
\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

如果令 $A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$ ，

$$
\mathrm{dS}=\mathrm{d} y \mathrm{~d} z i+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y j+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y k,
$$

那么上式就可以写成简便的向量形式： $\iint_{\Sigma} A(x, y, z) \cdot \mathrm{dS}$
其中 $\mathrm{dS}$ 称为有向曲面面积元素.
 
 **应当注意第二型曲面积分的坐标形式与通常的重积分的区别．**

比如，考虑 $P \equiv Q \equiv 0$ 的特殊情况，这时 $S$ 上的第二型曲面积分为

$$
\iint_S R(x, y, z) d x d y
$$

它与在 $O x y$ 平面内某个区域上的二重积分有原则区别．这不仅表现在被积函数 $R(x, y, z)$ 是三元函数，其中的点 $(x, y, z)$ 要约束在 $S$ 上取值，而且还表现在记号 $d x d y$ 上。在二重积分中 $d x d y$ 表示面积元，它总是一个正的量，但在上述第二型曲面积分中， $d x d y$ 表示曲面上的微元 $d S$ 在 $O x y$ 平面上的有向投影面积，它可能为正也可能为负，其符号由曲面的法向量的指向所决定．

### 性质
对坐标的曲面积分也具有线性性、区域可加性，例如，若被积函数在对应光 滑曲面上连续，则

$$
\iint_{\Sigma}\left[\alpha R_1(x, y, z)+\beta R_2(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\alpha \iint_{\Sigma} R_1(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\beta \iint_{\Sigma} R_2(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ；
$$

设 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$ ，则 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma_1} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma

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