对坐标的曲面积分（第二类的曲面积分）

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 48 次更新导出Word

在介绍对坐标的曲面积分之前， 我们首先要对曲面作一些说明，这里假定曲 面是光滑的.

1. 曲面的侧
   曲面有单侧和双侧之分， 本课程中我们讨论的曲面都是双侧曲面. 例如，由 方程 $z=z(x, y)$ 给出的曲面，有上侧、下侧之分；对于由方程 $y=y(x, z)$ 给出 的曲面，有右侧、左侧之分；对于由方程 $x=x(y, z)$ 给出的曲面，有前侧、后侧 之分； 对于一张包围某一空间区域的闭曲面则有外侧、内侧之分.**   1、曲面的侧**
   我们总是假定以后所考虑的曲面都是双侧曲面，不仅如此，还要选定它的某 一侧. 我们称选定了侧的双侧曲面称为有向曲面.
   若以表示有向曲面，则就表示与取相反一侧的有向曲面.选定曲面的侧与确 定该曲面的法向量的指向密切相关.
   可以通过确定曲面上法向量的指向来定出曲面的侧，而反之，确定了曲面的 侧，也就定出了曲面上法向量的指向.
   比如，对于曲面 $z=z(x, y)$ ，若它的法向量 $\boldsymbol{n}$ 指向朝上，则就认为取定曲面 的上侧（见图 7-65)，又如，若闭曲面，取它的法向量指向朝外，就认为取定曲 面的外侧 (见图 7-66).

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从几何上看，对于曲面 $z=z(x, y)$ (函数 $z(x, y)$ 具有连续偏导数)，它在某点 $(x, y, z)$ 的法向量为 $n=\pm\left(-z_x,-z_y, 1\right)$.
若取 $n$ 向上，其与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 是锐角，此时 $\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}>0$ ，即取 $n=\left(-z_x,-z_y, 1\right)$ ，则就选定曲面的上侧（图 7-67)；

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从几何上看，对于曲面 $z=z(x, y)$ ( (函数 $z(x, y)$ 具有连续偏导数)，它在某点 $(x, y, z)$ 的法向量为 $n=\pm\left(-z_x,-z_y, 1\right)$.
若取 $n$ 向下， $\gamma$ 是钝角，此时 $\cos \gamma=\frac{-1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}<0$ ，即取 $n=\left(z_x, z_y,-1\right)$ ，则 就选定曲面的下侧 (图 7-68).

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类似地，我们可以确定，对于曲面 $y=y(x, z)$ (函数 $y(x, z)$ 具有连续偏导数)， 它在某点 $(x, y, z)$ 的法向量为 $n=\pm\left(-y_x, 1,-y_z\right)$. 取 $n=\left(-y_x, 1,-y_z\right)$ 时，选定曲面的 右侧（图 7-69）；取 $n=\left(y_x,-1, y_z\right)$ ) 时，选定曲面的左侧（图 7-70）.

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对于曲面 $x=x(y, z)$ (函数 $x(y, z)$ 具有连续偏导数)，它在某点 $(x, y, z)$ 的法 向量为 $n=\pm\left(1,-x_y,-x_z\right)$. 取 $n=\left(1,-x_y,-x_z\right)$ 时，选定曲面的前侧（图 7-71)；取 $n=\left(-1, x_y, x_z\right)$ 时，选定曲面的后侧 (图 7-72).

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因此可以确定，曲面的侧可以通过其单位法向量 $\boldsymbol{e}_n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 表 出. 设 $\Sigma$ 是有向曲面，在 $\Sigma$ 上取一小块曲面 $\Delta S$ ，将 $\Delta S$ 投影到 $x O y$ 面上得一投 影区域，其面积记为 $(\Delta \sigma)_{x y}$ ，且假定在 $\Delta S$ 上各点处的法向量与 $z$ 轴的夹角 $\gamma$ 的余弦 $\cos \gamma$ 有相同的符号，则规定 $\Delta S$ 在 $x O y$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x y}$ 为:

$$
(\Delta S)_{x y}=\left\{\begin{array}{cc}
(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma>0, \\
-(\Delta \sigma)_{x y}, & \cos \gamma<0, \\
0, & \cos \gamma \equiv 0 .
\end{array}\right.
$$

其中 $\cos \gamma \equiv 0$ 也就是 $(\Delta \sigma)_{x y}=0$ 的情形.
类似地可以定义 $\Delta S$ 在 $y O z$ 面上的投影 $(\Delta S)_{y z}$ 及 $\Delta S$ 在 $x O z$ 面上的投影 $(\Delta S)_{x z}$.

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