泊松分布

日期: 2023-01-03 08:40 查看: 75 次

设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$
P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \ldots ; \quad \lambda>0
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X \sim P(\lambda)$.
由无穷级数知识知: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=1$
泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，例如
01 某一时段内某网站的点击量；
02 早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；
03 一本书上的印刷错误数。
例 5 设随机变量 $X$ 有分布律 $P(X=k)=\frac{c \times 3^k}{k !}(k=0,1,2, \cdots)$ ，求 $c$ 的值，并求解 $P(X \leq 2)$. 解 根据分布律的定义有 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{c \times 3^k}{k !}=1 \Rightarrow c=\mathrm{e}^{-3}$.
事实上，不难看出 $x \sim P(3)$ ，所以 $c=\mathrm{e}^{-3}$ 。

$$
\begin{aligned}
P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\
& =\frac{e^{-3} \times 3^0}{0 !}+\frac{e^{-3} \times 3^1}{1 !}+\frac{e^{-3} \times 3^2}{2 !}=\frac{17}{2} e^{-3} 。
\end{aligned}
$$

例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为 6 的泊松分布.问周初 至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存， 且本周不再进货.
解 设该款手表每周的需求量为 $X$ 则有 $X \sim P(6)$ ；设至少需要进 $n$ 块该款手 表，才能满足不脱销的概率不小于 $0.9$ ，即要满足

$$
\begin{aligned}
& P(X \leq n) \geq 0.9 \\
& P(X \leq n-1)<0.9
\end{aligned}
$$

解得 $P(X \leq 8)=0.847237, P(X \leq 9)=0.916076$
所以周初预备 9 块时，能满足 $90 \%$ 的顾客需求而不脱销。
定理（泊松定理）
在 $n$ 重贝努利试验中，记 $A$ 事件在一次试验中发生的概率为 $p_{n^{\prime}}$ 当 $n \rightarrow+\infty$ 时， 有 $n p_n \rightarrow \lambda$
对于任意一个非负整数 $k$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda} .
$$

泊松定理告诉我们: 满足一定条件时，二项概率可以用泊松分布的概率值来近似.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301033be7c5a.png)

本系统使用启明星知识库Kbase搭建，最后更新于2023-01-03 08:40 ，如果您有意见或建议请点击反馈。