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泊松分布
日期:
2023-01-03 08:40
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设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \ldots ; \quad \lambda>0 $$ 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 记为 $X \sim P(\lambda)$. 由无穷级数知识知: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}=1$ 泊松分布也是一种常用的离散型分布,它常常与计数过程相联系,例如 01 某一时段内某网站的点击量; 02 早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数; 03 一本书上的印刷错误数。 例 5 设随机变量 $X$ 有分布律 $P(X=k)=\frac{c \times 3^k}{k !}(k=0,1,2, \cdots)$ ,求 $c$ 的值,并求解 $P(X \leq 2)$. 解 根据分布律的定义有 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{c \times 3^k}{k !}=1 \Rightarrow c=\mathrm{e}^{-3}$. 事实上,不难看出 $x \sim P(3)$ ,所以 $c=\mathrm{e}^{-3}$ 。 $$ \begin{aligned} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & =\frac{e^{-3} \times 3^0}{0 !}+\frac{e^{-3} \times 3^1}{1 !}+\frac{e^{-3} \times 3^2}{2 !}=\frac{17}{2} e^{-3} 。 \end{aligned} $$ 例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为 6 的泊松分布.问周初 至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存, 且本周不再进货. 解 设该款手表每周的需求量为 $X$ 则有 $X \sim P(6)$ ;设至少需要进 $n$ 块该款手 表,才能满足不脱销的概率不小于 $0.9$ ,即要满足 $$ \begin{aligned} & P(X \leq n) \geq 0.9 \\ & P(X \leq n-1)<0.9 \end{aligned} $$ 解得 $P(X \leq 8)=0.847237, P(X \leq 9)=0.916076$ 所以周初预备 9 块时,能满足 $90 \%$ 的顾客需求而不脱销。 定理(泊松定理) 在 $n$ 重贝努利试验中,记 $A$ 事件在一次试验中发生的概率为 $p_{n^{\prime}}$ 当 $n \rightarrow+\infty$ 时, 有 $n p_n \rightarrow \lambda$ 对于任意一个非负整数 $k$ ,有 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p_n^k\left(1-p_n\right)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda} . $$ 泊松定理告诉我们: 满足一定条件时,二项概率可以用泊松分布的概率值来近似. 
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2023-01-03 08:40
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