最后更新: 2025-07-24 10:31 查看: 469 次反馈同步训练

两类曲面积分之间的关系

## 如何理解曲面积分的积分微元
在第二类曲面积分计算里，使用了下面积分微元 
$\cos \alpha  dS= dy dz, \quad \cos \beta dS= dz dx, \quad \cos \gamma dS= dx dy$

如何理解其中的关系呢？参考下图，在$P$点取一个积分的面积微元$dS$，过该点做曲面的切平面， 我们在 [切平面与法面方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395) 里给出了一个重要结论：

> **对曲面$f(x,y,z)$进行求偏导，得到三个偏导数，这三个偏导数组成一个向量，这个向量即是法向量又是梯度**

示意图如下
 ![图片](/uploads/2025-05/a1cf3d.jpg){width=400px}

为了方便观察，我们把上面的切平面取出来放到三维坐标系，如下图

![图片](/uploads/2025-05/c0ce26.jpg){width=400px}
 
现在列出核心参数，其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 分别是切平面与三个坐标轴之间的夹角。（推导过程可以参考上文提到的 切平面与法面方程）

![图片](/uploads/2025-05/5bf644.jpg){width=400px}

由立体几何关系，可以得到曲面 $dS$ 向 $yoz$ 的投影就是$\cos \alpha  dS$ ,另外两个也是这样计算，这样，就得到了曲面和投影的关系，即
$$
\boxed{
\begin{array}{c}
\cos \alpha  dS= dy dz\\
\cos \beta dS= dz dx\\
\cos \gamma dS= dx dy\\
\end{array} ...(1)
}
$$

把（1）带入[第二类曲面积分的计算公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=425) 由此得到如下关系

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S .
}
$$

这样就把第一类曲面积分和第二类曲面积分的关系，关联了起来。 上面是几何理解，下面是数学的严格证明。
## 两类曲面积分之间的关系
设有向曲面 $\Sigma: z=z(x, y) ， \Sigma$ 在 $x O y$ 面上投影区域为 $D_{x y}$ ，函数 $z(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有一阶连续偏导数， $R(x, y, z)$ 在 $\sum$ 上连续， $\underline{\boldsymbol{e}}_n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为曲 面 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量. 若取 $\Sigma$ 上侧，则有

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
$$

又， $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

$$
=\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$

因此 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S$ ；
若取 $\Sigma$ 下侧，则有

$$
\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_{y y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$

又， $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \frac{-1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

$$
=-\iint_{D_{x y}} R(x, y, z(x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$

因此 $\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \cos \gamma \mathrm{d} S$ 成立.
类似地，有

$$
\begin{aligned}
& \iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \cos \alpha \mathrm{d} S ， \\
& \iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \ma

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