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连续型随机变量函数的分布
日期:
2023-01-03 09:05
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例 16 设 $\mathrm{X}$ 服从区间 $(1,3)$ 上的均匀分布，求 $X^2$ 的密度函数。 解 随机变量 $X$ 的取值范围 $(1,3)$ ，故随机变量 $Y=X^2$ 的取值范围为区间 $(1,9) ， Y$ 仍 然是一个连续型随机变量。因此需求解 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(y)$ 和概率密度函数 $f_Y(y)=F^{\prime}(y)$ 。 根据题意， $X$ 的概率密度函数为 $\quad f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 1<x<3 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$ $\mathrm{Y}$ 的分布函数 $\quad F_Y(y)=P(Y \leq y)=P\left(X^2 \leq y\right)$   例17 设 $X \sim N(0,1)$ ，求随机变量 $Y=|X|$ 的密度函数. 解 易得随机变量 $Y=|X|$ 的取值范围为区间 $[0,+\infty) ， Y$ 仍然是一个连续 型随机变量。当 $y \geq 0$ 时， $Y$ 的分布函数为 $$ F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(|X| \leq y)=P(-y \leq X \leq y)=\Phi(y)-\Phi(-y) $$ 直接对上式求导有 $f_Y(y)=F_y^{\prime}(y)=\Phi^{\prime}(y)-\Phi^{\prime}(-y)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}$ 所以， $Y$ 的概率密度函数为 $\quad f_Y(y)= \begin{cases}\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{y^2}{2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases}$ 定理 1 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f_X(x) ， Y=g(X)$ 是连续型随机变量， 若 $y=g(x)$ 为严格单调函数， $x=g^{-1}(y)$ 为相应的反函数，且为可导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为 $$ f_Y(y)=f_X\left(g^{-1}(y)\right) \cdot\left|\left[g^{-1}(y)\right]\right| $$ 定理 2 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则当 $k \neq 0$ 时， $Y=k X+b \sim N\left(k \mu+b, k^2 \sigma^2\right)$ ， 特别地， $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ 例 18 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求随机变量 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数. 解 因 $y=\mathrm{e}^x$ 的反函数为 $x=\ln y$ ；当 $y>0$ 时单增， $x^{\prime}=\frac{1}{y}$ ，所以当 $y>0$ 时 $$ f_Y(y)=f_X(\ln y)(\ln y)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}} $$ 所以 $Y=\mathrm{e}^X$ 的密度函数为 $$ f_Y(y)= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \mathrm{e}^{-\frac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, & y>0, \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases} $$
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2023-01-03 09:05
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