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第八章 无穷级数
收敛级数的基本性质
最后更新:
2023-10-01 11:28
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收敛级数的基本性质
由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性,所以利用数列极限的运 算法则,容易证明级数的下列性质. 性质 1 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,其和为 $s$ ,则对任何常数 $k$ ,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$ 收敛,且 其和为 $k s$ ,即 $$ \sum_{n=1}^{\infty} k u_n=k \sum_{n=1}^{\infty} u_n . $$ 证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和是 $s_n$ ,则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ;又设 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$ 的部分和为 $s_n^{\prime}$ , 即 $$ \sum_{i=1}^n k u_i=s_n^{\prime}, $$ 则 因此 即 $$ \begin{gathered} \lim _{n \rightarrow \infty} s_n^{\prime}=\lim _{n \rightarrow \infty} k s_n=k \lim _{n \rightarrow \infty} s_n=k s, \\ \sum_{n=1}^{\infty} k u_n=k \sum_{n=1}^{\infty} u_n . \end{gathered} $$ 性质 2 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 分别收敛于 $s$ 和 $t$ ,即 $$ \sum_{n=1}^{\infty} u_n=s, \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n=t, $$ 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 也收敛,其和为 $s \pm t$ ,即有 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n+\sum_{n=1}^{\infty} v_n . $$ 证 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 的部分和分别为 $s_n, t_n$ ,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 的部分和 为 $r_n=s_n+t_n$ ,由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n , \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均收敛,故由极限的运算性质知 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} r_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n+t_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n+\lim _{n \rightarrow \infty} t_n=s+t, $$ $$ \text { 即有 } \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n+\sum_{n=1}^{\infty} v_n \text {. } $$ 例 7 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{3}{n(n+1)}\right)$ 的和. 解 根据等比级数的结论,知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$. 而由例 3 知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$, 所以 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{n(n+1)}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+1)}=4 . $$ 从性质 1 和 2 可直接得出如下推论: 推论 (1) 若 $k \neq 0$ ,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} k a_n$ 具有相同的收敛性; (2) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n , \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 一个收敛一个发散,则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right)$ 一定发散. 例 8 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{2^n}\right)$ 的收玫性. 解 因级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散,故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}$ 发散, 又级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛, 故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{2^n}\right) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2^n}\right)$ 发散. 性质 3(级数收敛的必要条件) 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0 . $$ 证 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,且 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ,由于 故 $$ u_n=S_n-S_{n-1}, $$ $$ \lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n-s_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n-1}=s-s=0 $$ 由性质 3 可直接得出如下推论. 推论 如果当 $n \rightarrow \infty$ 时,级数的一般项 $u_n$ 不趋于零,那么级数发散. 例如级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ ,由于 $$ \left|u_n\right|=\left|(-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1} \rightarrow 1(n \rightarrow \infty), $$ 即 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n\right| \neq 0$ 时,一般项不趋于零,因此级数发散. 注 一般项趋于零不是级数收敛的充分条件,事实上许多发散的级数的一般 项是趋于零的,调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 就是一例. 性质 4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性. 证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为 $s_n$ , 不妨假设在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 中 $u_1$ 改变成了 $v_1$ ,其余不 变,记新级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ , 其中 $v_n=u_n(n=2,3,4, \cdots)$ ,并设其部分和为 $s_n$ , 则有 $S_n^{\prime}=S_n+u_1-v_1$, 因此当 $n \rightarrow \infty$ 时, $s_n^{\prime}$ 有极限的充要条件为 $s_n$ 有极限,即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 有相同 的收玫性. 级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.
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