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绝对收敛和条件收敛

## 绝对收敛和条件收敛
设有级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ ，其中 $u_n(n=1,2, \cdots)$ 为任意实数，那么 该级数叫做任意项级数. 可见，交错级数是任意项级数的一种特殊形式.
对任意项级数，我们给每项加上绝对值符号构造一个正项级数，

$$
\text { 即 } \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|=\left|u_1\right|+\left|u_2\right|+\cdots+\left|u_n\right|+\cdots
$$

任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的收敛性和 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 的收敛性的关系如下.
### 定理 7
若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛，则任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必收敛.
证 令 $v_n=\frac{1}{2}\left(u_n+\left|u_n\right|\right)$ ，则 $v_n \geq 0$ ，故 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 是正项级数， 且满足 $v_n \leq\left|u_n\right|$. 因为正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛，由比较审敛定理知 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} 2 v_n$ 也收敛. 又 $u_n=2 v_n-\left|u_n\right|(n=1,2, \cdots)$ ， 由级数性质 2 可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必收敛.
根据定理 7 这个结果，我们可以将许多一般常数项级数的收剑性判别问题 转化为正项级数的收敛性判别问题.

## 绝对收敛和条件收敛
**定义** 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 也收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛； 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛；
由定理 7 知，一个绝对收敛的级数必定是收敛的，由正项级数的比较审敛 定理和比值审玫定理立即得到下列判定任意项级数绝对收玫的判别法.

**定理8** 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 是任意项级数，若满足下列条件之一，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必绝对 收敛.
（1）存在收敛的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n $ 满 足 $\left|u_n\right| \leq v_n(n=1,2, \cdots)$ ；
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho<1$;
(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\rho<1$
当级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散时不能确定任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的收敛性. 但是若用比值或 审敛定理判断出 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 是发散的，
例如满足条件 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho>1$ 或 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=+\infty$ ，则必有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$ （由比值 审敛定理的证明可知)，因此级数必发散.

`例`判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}(p>0)$ 的收敛性.
解 由 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ ，易见当 $p>1$ 时，题设级数绝对收敛；
当 $0<p \leq 1$ 时，由莱布尼茨定理知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 发散，故题设 级数条件收敛.

`例`判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$ 的收玫性.
解 $\left|\frac{\sin n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$ 收敛，故由定理 8 知原 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$ 绝对收敛.

`例`判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n^{n+1}}{(n+1) !}$ 的收敛性.
解 这是一个交错级数，令 $u_n=(-1)^n \frac{n^{n+1}}{(n+1) !}$ ， 则

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}\right|}{\left|u_n\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+2}}{[(n+1)+1] !} \frac{(n+1) !}{n^{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}>1 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n^{n+1}}{(n+1) !}$ 发散.

`例`判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 是绝对收敛还是条件收敛.
解 首先 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{(n+1)^2+1} \cdot \frac{n^2+1}{n}=\frac{n^3+n^2+n+1}{n^3+2 n^2+2 n} \leq 1$, 即 $u_{n+1} \leq u_n(n=1,2, \cdots)$ ，

$$
\text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n^2+1}=0 \text {. }
$$

由交错级数审敛定理， 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 收敛.

由交错级数审敛定理，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 收玫.
再判定 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ 的敛散性.
由于 $\frac{n}{n^2+1} \geq \frac{n}{n^2+n^2}=\frac{1}{2 n}$, 而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}$ 发散，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$ 发散.
于是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^2+1}$ 是条件收玫的.

`例`讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ 的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条 件收敛?
解 由于 $\frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}} ， \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}}$ 发散，
故 $\quad \sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ 发散，
又， $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}=\frac{(-1)^n\left[\sqrt{n}-(-1)^n\right]}{n-1}=\frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n-1}-\frac{1}{n-1}$ ， 级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{n-1}$ 收玫，
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}$ 发散，故原级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ 发散.

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