边缘分布函数

日期: 2023-01-03 10:46 查看: 73 次

定义1
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$

$$
\text { 称 } F_X(x)=P(X \leq x)=P(X \leq x, Y<+\infty)=F(x,+\infty)
$$

$-\infty<x<+\infty$, 为随机变量 $X$ 的边缘分布函数；
称 $F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X<+\infty, Y \leq y)=F(+\infty, y)$
$-\infty<y<+\infty$, 为随机变量 $Y$ 的边缘分布函数.

例1 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
c y^2, & 0<x<2 y, 0<y<1, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$

分别计算 $X$ 与 $Y$ 边缘分布函数.
解：在第一节例4中已得 $(X, Y)$ 的联合分布函数，

$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & x<0 \text { 或 } y<0 ; \\
\frac{2}{3} x\left(y^3-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2 y, \quad 0 \leq y<1 ; \\
\frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2, \quad y \geq 1 ; \\
y^4, & x \geq 2 y, 0 \leq y<1 ; \\
1, & x \geq 2, y \geq 1 .
\end{array}\right.
$$

在第一节例4中已得 $(X, Y)$ 的联合分布函数，
故 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布函数分别为

$$
F_X(x)=F(x,+\infty)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2, \quad F_Y(y)=F(+\infty, y)= \begin{cases}0, & y<0, \\ y^4, & 0 \leq y<1, \\ 1, & y \geq 1,\end{cases} \end{cases}

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