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边缘分布函数
日期:
2023-01-03 10:46
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定义1 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ $$ \text { 称 } F_X(x)=P(X \leq x)=P(X \leq x, Y<+\infty)=F(x,+\infty) $$ $-\infty<x<+\infty$, 为随机变量 $X$ 的边缘分布函数; 称 $F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X<+\infty, Y \leq y)=F(+\infty, y)$ $-\infty<y<+\infty$, 为随机变量 $Y$ 的边缘分布函数. 例1 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} c y^2, & 0<x<2 y, 0<y<1, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. $$ 分别计算 $X$ 与 $Y$ 边缘分布函数. 解:在第一节例4中已得 $(X, Y)$ 的联合分布函数, $$ F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<0 \text { 或 } y<0 ; \\ \frac{2}{3} x\left(y^3-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2 y, \quad 0 \leq y<1 ; \\ \frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2, \quad y \geq 1 ; \\ y^4, & x \geq 2 y, 0 \leq y<1 ; \\ 1, & x \geq 2, y \geq 1 . \end{array}\right. $$ 在第一节例4中已得 $(X, Y)$ 的联合分布函数, 故 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布函数分别为 $$ F_X(x)=F(x,+\infty)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \frac{2}{3} x\left(1-\frac{x^3}{32}\right), & 0 \leq x<2, \quad F_Y(y)=F(+\infty, y)= \begin{cases}0, & y<0, \\ y^4, & 0 \leq y<1, \\ 1, & y \geq 1,\end{cases} \end{cases} $$
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