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高等数学
第八章 无穷级数
幂级数的收敛域-Abel 收敛定理
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2025-04-23 06:44
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幂级数的收敛域-Abel 收敛定理
Abel收敛定理
## 幂级数的收敛域 对于一般的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ,显然点 $x=0$ 时它的一个收敛点, 因为在该点处幂级数只含有一项 $a_0$ ,其余各项都是 0 ,故在点 $x=0$ 处,幂级数的和 $s$ 等于 $a_0$. 除了 $x=0$ 点以外,还有哪些点是收玫点呢? 我们有下面的定理. ## 定理 1 (Abel 收敛定理) 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 满足 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho , $$ 有以下结论成立 (1)若 $\rho=0$ ,则对任一 $x$ ,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛; (2)若 $0<\rho<+\infty$ ,当 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛,当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ 时, 佘级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散; (3) 若 $\rho=+\infty$ ,则幂级数在 $x \neq 0$ 时都发散. **证明** (1)若 $\rho=0$ ,则对任一 $x$ ,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛; 证 要证幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛,只需验证正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 收敛. 取 $u_n=\left|a_n x^n\right|$ ,则有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_n x^n\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|=\rho|x| . $$ (1)若 $\rho=0$ ,则对任一 $x$ ,有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_n x^n\right|}=0<1$ 由正项级数的比值审敛定理可知,级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_n x^n\right|$ 收敛,从而对任一 $x$ ,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 都绝对收敛; (2) 若 $0<\rho<+\infty$ ,当 $|x|<\frac{1}{\rho}$ 时,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛,当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ 时, 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散; $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1} x^{n+1}\right|}{\left|a_n x^n\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1} \mid}{a_n}\right||x|=\rho|x| . $$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ ,级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝 对收敛;而当 $|x|>\frac{1}{\rho}$ ,即 $\rho|x|>1$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ ,从而级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散. (3) 若 $\rho=+\infty$ ,则对于 $x \neq 0 , \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho|x|=+\infty$ , 故级数在 $x \neq 0$ 的所 有点都是发散的,即仅在 $x=0$ 一点处收敛. ## 收敛半径 由这个定理可以看出,当 $0<\rho<+\infty$ 时,幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在开区间 $\left(-\frac{1}{\rho}, \frac{1}{\rho}\right)$ 内 绝对收玫,自然是收敛的,在 $\left(-\infty,-\frac{1}{\rho}\right) \cup\left(\frac{1}{\rho},+\infty\right)$ 在 $x=-\frac{1}{\rho}$ 和 $x=\frac{1}{\rho}$ 两点处级数 可能收敛也可能发散,这两点是幂级数收敛点和发散点的分界点,这两点到原点 的距离都是 $\frac{1}{\rho}$. 令 $R=\frac{1}{\rho}$ ,称 $R$ 为幂级数的**收敛半径** (见图 8-2).  $(-R, R)$ 称为幂级数的收敛区间,而幂级数的收敛域必为下列区间之一: 当 $\rho=0$ 时,幂级数处处都收敛,规定收敛半径 $R=+\infty$ ; 当 $\rho=+\infty$ 时,幂级数仅在原点收敛,规定收敛半径 $R=0$. ### 定理2 已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ,若 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho , $$ 则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径 $$ R=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\rho}, & \rho \neq 0, \\ +\infty, & \rho=0, \\ 0, & \rho=+\infty . \end{array}\right. $$ **求下列幂级数的收剑域** (1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}$; (2) $\sum_{n=1}^{\infty}(-n x)^n$; (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$; (4) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$; (5) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} x^n$; (6) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^2} x^n$. `例`$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}$; 解:$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{n}$ $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 /(n+1)}{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1$ , 所以收敛半径 $R=1$. 当 $x=1$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}=(-1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots+(-1)^n \frac{1}{n}+\cdots$ ,该级数为收敛的交错级数; 当 $x=-1$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$ ,该级数是调和级数,发散. 从而所求收敛域为 $(-1,1]$. `例`$\sum_{n=1}^{\infty}(-n x)^n$ 解: 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{(-n-1)^{n+1}}{(-n)^n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n(n+1)=+\infty$, 故收敛半 径 $R=0$, 即题设级数只在 $x=0$ 处收敛. `例` $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n !}$ 解: 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{(n+1) !}}{\frac{1}{n !}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ,所以收玫半径 $\rho=+\infty$ , 所求收敛域为 $(-\infty,+\infty)$. `例`$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$ 解:令 $t=x-\frac{1}{2}$ ,题设级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}} t^n$ , 因为 $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ $=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{2^n} \mid=2$ , 所以收敛半径 $R=\frac{1}{2}$ ,收敛区间为 $|t|<\frac{1}{2}$ , 即 $0 \leq x \leq 1$. 当 $x=0$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ ,该级数发散;当 $x=1$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ , 该级数收敛,从而所求收敛域为 $(0,1]$. `例`$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} x^n$; 解: $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{3^n}{\sqrt{n}}}=3$ ,所以 $R=\frac{1}{3}$. 当 $x=-\frac{1}{3}$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 为交 错级数,满足莱布尼兹定理要求,故该级数收敛;当 $x=\frac{1}{3}$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 为 $p-$ 级 数, $p=\frac{1}{2}<1$ ,故级数发散, 因此该级数收敛域为 $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$. `例`$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^2} x^n$. 解: $\rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{5^n}{n^2}}=5$, 所以 $R=\frac{1}{5}$. 当 $x=-\frac{1}{5}$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ ,该级数收敛; 当 $x=\frac{1}{5}$ 时,级数成为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ,该级数收敛,从而该级数收敛域为 $\left[-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right]$.
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