最后更新: 2025-07-02 10:39 查看: 457 次反馈同步训练

函数展开的几何意义与举例

## 从几何上再次理解泰勒展开式
下面将从几何角度来解释幂级数展开(泰勒公式)。泰勒展开的本质是**多项式逼近**，也就是说，我们可以使用低次到高次的多项式累加来拟合函数 $f(x)$ 在某个点邻域的函数值。比如在物理上， $\sin (x)$ 在 $x$ 很小的时候，可以近似认为等于 $x$ 。这实际上就是用一次多项式 $x$ 来逼近 $\sin (x)$ 在 $x=0$ 附近的函数值。

为了能使多项式 $P(x)$ 能够较好地拟合 $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域的函数值，最简单最原始最自然的想法是：(本文节选自 [泰勒公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304))
首先 $P(x)$ 在 $x=x_0$ 处应该与 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的值相同吧，这是最最基本的要求了。如果函数值都不一样还那后面就完全不用拟合了。所以要满足 $P\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)$ 。最简单的多项式是零次多项式— $P(x)$是一个常数。

![图片](/uploads/2024-09/d4f2ed.jpg){width=400px}
 
 >注意：泰勒展开式是拟合$x=x_0$这一点的值，而不是拟合$f(x)$整个函数。比如$e^x=1+x$ 是在$x$趋近0时，这两个函数近似相等，而且$x$越靠近0，其值越近似。但是当$x$取很大的数时，是完全不相等。请理解其中的区别
 
 然后，在满足上一条的情况下，最好也能让 $P(x)$ 在 $x_0$ 处的导数和 $f(x)$ 的相同，这样不仅函数值相同，变化率也一样，那不是更好了吗。也就是

$$
P\left(x_0\right)=f\left(x_0\right), \quad P^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

很容易推知最简单的 $P(x)$ 是一次多项式，应该具有如下图所示的红色表达式 ，如下图，好像这次在$x_0$附近就算偏一点也拟合的比上次好很多了.
 ![图片](/uploads/2024-09/44cbec.jpg){width=400px}
 
 
 接下来，在满足上面的情况下，我们提出进一步要求，能不能让 $P(x)$ 和 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的二阶导也一样？也就是

$$
P\left(x_0\right)=f\left(x_0\right), \quad P^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right), P^{\prime \prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)
$$

很容易推知最简单的 $P(x)$ 是二次函数，应该具有如下图所示的红色表达式：

![图片](/uploads/2024-09/c13a74.jpg){width=400px}
 
 看一个看两个，慢慢地我们很容易就能发现一般的规律: 这个拟合的过程就是让多项式 $P(x)$ 在 $x_0$
$P^{(n)}(x)=f^{(n)}(x), \quad n=0,1,2, \ldots, m$
很容易就可以推知满足以上条件的 $\mathrm{P}(\mathrm{x})$ 的表达式为:

$$
P(x)=\sum_{n=0}^m \frac{\left(x-x_0\right)^n}{n!} f^{(n)}\left(x_0\right)
$$
可以看出 $P(x)$ 是m次多项式，而且当m越高， $P(x)$ 越复杂，拟合得越好（一般来说二阶就差不多了）。上式就是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒展开

>为什么在拟合的过程，要除以$n!$?，因此每一次拟合，都会增加一个$f(x)$的值，为了防止该值增加的过快，就除以$n!$进行调和。要知道每增加一次拟合，$n!$会增加的更多，进行修正后的数值变小，导致误差也会越来越小。

在拟合过程中，有2个问题：**（1）函数在哪一点可以拟合 （2）函数多项式是多少。** 上面解释的几何意义是函数多项式的意义，而在哪一点可以拟合是由收敛圆决定的，而$e^x$ 的收敛圆为无穷大，意味着在整个定义域上都可以拟合。

## 函数展开成幂级数举例
`例`求函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 的麦克劳林展开式.
解 $f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^x, f^{(n)}(0)=1$.
因 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 为初等函数，故

$$
\boxed{
\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\mathrm{L}+\frac{1}{n !} x^n+  . ...(8)
}
$$

再求级数的收玫半径. 由 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，得 $R=+\infty$. 而 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有任意阶导数，故 (8) 式在 $(-\infty,+\infty)$ 内成立.

下图展示了多项式$P(x)$无限逼近$f(x)=e^x$ 的过程

![图片](/uploads/2025-07/f1ea29.jpg){width=400px}

如果在 $x=0$ 处附近，用级数的部分和 （即多项式）来近似代替 $e ^x$ ，那么随着项数的增加，它们就越来越接近于 $e ^x$

`例`把 $f(x)=\sin x$ 展开成 $x$ 的幂级数.
解 这也是求初等函数的麦克劳林展开式. 因 $f^{\prime}(x)=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 故 $f^{(n)}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)(n=0,1,2, \cdots), f^{(n)}(0)=\sin \frac{n \pi}{2}$
$f^{(n)}(0)$ 顺序循环地取 $0,1,0,-1, \cdots(n=0,1,2, \cdots)$, 于是 $f(x)$ 的麦克劳林级数为

$$
\boxed{
\sin x=x-\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{5} x^5-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots
}
$$

该级数的收敛半径为 $R=+\infty$ ，而 $\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有任意阶导数，因此上式在 $(-\infty,+\infty)$ 内成立.
我们可以利用幂级数的运算性质，由 $\sin x$ 的展开式

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
$$

逐项求导得 $\cos x$ 的幂级数展式:

$$
\boxed{
\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)
}
$$

这样的利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算（如四则运算、逐项 求导、逐项可积）及变量替换的方法，将所给函数展成幂级数的方法称为间接展 开法. 而根据初等函数的展开定理，直接根据公式 $a_n=\frac{1}{n !} f^{(n)}(0)$ 计算幂级数的系 数，求初等函数 $f(x)$ 的幂级数展开式的方法，称为直接展开法.

以上将函数展开成幂级数的例子，是直接按公式 $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ 计算幂级数的系数，最后考察余项 $R_n(x)$ 是否趋于零．这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事．下面介绍间接展开的方法，**这就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数．这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项**。

`例`将函数 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$;
解 : $f(x)=\frac{1}{1+x} ， f^{\prime}(x)=(-1)(1+x)^{-2} ， f^{\prime \prime}(x)=(-1)(-2)(1+x)^{-3} ， \cdots$ $f^{(n)}(x)=(-1)(-2)(-3) \cdots(-n)(1+x)^{(-n-1)}$. 于是 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1, f^{\prime \prime}(0)=(-1)(-2), \cdots, \quad f^{(n)}(0)=(-1)(-2)(-3) \cdots(-n)=(-1)^n n !$
因 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 为初等函数，故

$$
\boxed{
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots, x \in(-1,1) .
}
$$

在上式中如果用

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