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高等数学
第八章 无穷级数
初等函数展开成幂级数举例
最后
更新:
2025-04-23 07:09
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刷题
初等函数展开成幂级数举例
## 函数展开成幂级数举例 `例`求函数 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 的麦克劳林展开式. 解 $f^{(n)}(x)=\mathrm{e}^x, f^{(n)}(0)=1$. 因 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 为初等函数,故 $$ \boxed{ \mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2 !} x^2+\mathrm{L}+\frac{1}{n !} x^n+\mathrm{L} . } $$ 再求级数的收玫半径. 由 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ,得 $R=+\infty$. 而 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有任意阶导数,故 (8) 式在 $(-\infty,+\infty)$ 内成立. `例`把 $f(x)=\sin x$ 展开成 $x$ 的幂级数. 解 这也是求初等函数的麦克劳林展开式. 因 $f^{\prime}(x)=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 故 $f^{(n)}(x)=\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)(n=0,1,2, \cdots), f^{(n)}(0)=\sin \frac{n \pi}{2}$ $f^{(n)}(0)$ 顺序循环地取 $0,1,0,-1, \cdots(n=0,1,2, \cdots)$, 于是 $f(x)$ 的麦克劳林级数为 $$ \boxed{ \sin x=x-\frac{1}{3 !} x^3+\frac{1}{5} x^5-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots } $$ 该级数的收敛半径为 $R=+\infty$ ,而 $\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有任意阶导数,因此上式在 $(-\infty,+\infty)$ 内成立. 我们可以利用幂级数的运算性质,由 $\sin x$ 的展开式 $$ \sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) $$ 逐项求导得 $\cos x$ 的幂级数展式: $$ \boxed{ \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty) } $$ 这样的利用一些已知的函数展开式,通过幂级数的运算(如四则运算、逐项 求导、逐项可积)及变量替换的方法,将所给函数展成幂级数的方法称为间接展 开法. 而根据初等函数的展开定理,直接根据公式 $a_n=\frac{1}{n !} f^{(n)}(0)$ 计算幂级数的系 数,求初等函数 $f(x)$ 的幂级数展开式的方法,称为直接展开法. `例`将函数 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$; 解 : $f(x)=\frac{1}{1+x} , f^{\prime}(x)=(-1)(1+x)^{-2} , f^{\prime \prime}(x)=(-1)(-2)(1+x)^{-3} , \cdots$ $f^{(n)}(x)=(-1)(-2)(-3) \cdots(-n)(1+x)^{(-n-1)}$. 于是 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1, f^{\prime \prime}(0)=(-1)(-2), \cdots, \quad f^{(n)}(0)=(-1)(-2)(-3) \cdots(-n)=(-1)^n n !$ 因 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ 为初等函数,故 $$ \boxed{ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+\cdots, x \in(-1,1) . } $$ 在上式中如果用 $-x$ 代替 $x$ ,则得到 $\frac{1}{1-x}$ 的幂级数展式: $$ \boxed{ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots, x \in(-1,1) } $$ 在上式两端从 0 到 $x$ 积分,可得 $$ \boxed { \ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n, x \in(-1,1] . } $$ `例`将函数 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数. $f(x)=\frac{1}{x^2-x-6}$; 解: $f(x)=\frac{1}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}\right)=\frac{1}{5}\left[\left(-\frac{1}{3}\right) \frac{1}{1-\frac{x}{3}}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x}{2}}\right]$, 利用展开式 (6) 和展开式 (7),有 $$ \frac{1}{1-\frac{x}{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} x^n, x \in(-3,3), \quad \frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n x^n, x \in(-2,2), $$ $$ \frac{1}{1-\frac{x}{3}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} x^n, x \in(-3,3), \quad \frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^n x^n, x \in(-2,2) $$ 故 $$ \begin{gathered} f(x)=-\frac{1}{5}\left[\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} x^n+\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} x^n\right] \\ =-\frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\right] x^n, x \in(-2,2) . \end{gathered} $$ `例`将函数 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数. $\ln \left(4-3 x-x^2\right)$ ; 解: $\ln \left(4-3 x-x^2\right)=\ln (1-x)(4+x)=\ln (1-x)+\ln (4+x)$. $$ \begin{gathered} \ln (1-x)=\ln [1+(-x)]=(-x)-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}-\cdots(-1 \leq x<1) \\ \ln (4+x)=\ln 4\left(1+\frac{x}{4}\right)=\ln 4+\ln \left(1+\frac{x}{4}\right)=\ln 4+\frac{x}{4}-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^2+\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{x}{4}\right)^3-\cdots(-4<x \leq 4) . \end{gathered} $$ 所以 $$ \begin{gathered} \ln \left(4-3 x-x^2\right)=\left(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots\right)+\ln 4+\frac{x}{4}-\frac{x^2}{2 \cdot 4^2}+\frac{x^3}{3 \cdot 4^3}-\cdots \\ =\ln 4-\frac{3}{4} x-\frac{17}{32} x^2-\frac{63}{192} x^3-\cdots(-1 \leq x<1) \end{gathered} $$ `例`将函数 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数. $\arctan x^2$. 解: $$ \begin{aligned} & \arctan x^2=\int_0^{x^2} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{~d} t=\int_0^{x^2} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2 n} \mathrm{~d} t \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \int_0^{x^2} t^{2 n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{4 n+2}}{2 n+1} \cdot x \in[-1,1] \end{aligned} $$ `例`将下列函数展开成 $x-x_0$ 的幂级数 (即在点 $x_0$ 处的泰勒级数): (1) $\ln x, x_0=1$; (2) $\sin x, x_0=\frac{\pi}{4}$. 解 (1) $\ln x=\ln [1+(x-1)]=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$ , $-1<x-1 \leq 1$ , 即 $0<x \leq 2$ ; (2) $$ \begin{aligned} \sin x & =\sin \left[\frac{\pi}{4}+\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\sin \frac{\pi}{4} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \frac{\pi}{4} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right] \end{aligned} $$ $\begin{aligned} \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) & =1-\frac{1}{2 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2+\frac{1}{4 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^4+\cdots , \\ \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) & =\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{3 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^3+\frac{1}{5 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^5+\cdots,\end{aligned}$ 因此 $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[1+\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2-\frac{1}{3 !}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^3+\cdots\right], x \in(-\infty,+\infty)$.
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