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三角函数系与正交函数系

## 傅里叶级数

>  关于傅里叶级数更详细教程请访问 [数学分析](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2143) 里的教程, 关于傅里叶变换的意义请参考复变函数 [复变函数傅里叶变换的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1872)

在自然界和工程技术中，周期运动的现象是很多的，例如，单摆的摆动、蒸汽机活塞的往复、交流电的电流和电压等，这些量都可 由时间 $t$ 的周期函数来表示.
比如，单摆在振幅很小时的摆动（简谐振动）可用正弦函数 $y=A \sin (\omega t+\varphi)$ 来描述，其中 $A$ 为振幅， $\omega$ 为角频率， $t$ 为时间， $\varphi$ 为初相角，它的周期为 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$.
又如，交流电的电流强度 $I$ 随时间的变化的关系为 $I=I_0 \sin (\omega t+\varphi)$. 还有些非正弦的周期函数，例如电学中的矩形波、 锯齿形波等.
如何深入研究这些非正弦的周期函数呢?
前一节介绍了将函数展开成幂级数，设想能否将一个周期函数展 开成一个三角级数呢? 所谓三角级数即级数中的每一项皆为三角函数 而三角函数是周期函数，也就是说能否将一个较复杂的周期运动（振 动) 看成是 (分解成) 许多简谐振动的叠加，即

$$
f(x) A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin \left(n \omega t+\varphi_n\right) ，
$$

其中 $A_0 、 A_n 、 \varphi_n(n=1,2, \cdots)$ 均为常数.
为了以后讨论的方便，上面函数项级数的一般项可表示为

$$
A_n \sin \left(n \omega t+\varphi_n\right)=A_n \sin \varphi_n \cos n \omega t+A_n \cos \varphi_n \sin n \omega t,
$$

若记 $\frac{a_0}{2}=A_0 ， a_n=A_n \sin \varphi_n, b_n=A_n \cos \varphi_n, \omega=\frac{\pi}{l}$ ，则上述级数就可表示成

$$
\boxed {
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi t}{l}+b_n \sin \frac{n \pi t}{l}\right) .
} ...(1)
$$

此式就称为**三角级数**，其中 $a_0 、 a_n 、 b_n(n=1,2, \cdots)$ 称为**三角级数的系数**.
令 $\frac{\pi t}{l}=x ，\left(1\right)$ 就成为

$$
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right),
$$

这就将以 $2 l$ 为周期的三角级数转换成以 $2 \pi$ 为周期的三角级数.

### 三角函数系与正交函数系
   
我们称函数系 $1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots$ 为三角函数系.

$$
\text { 由于 } \int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \cos n x \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{n} \sin n x\right]_{-\pi}^\pi=0 ， \int_{-\pi}^\pi 1 \cdot \sin n x \mathrm{~d} x=\left[-\frac{1}{n} \cos n x\right]_{-\pi}^\pi=0 \text { ， }
$$

当 $n \neq m$ 时， $\int_{-\pi}^\pi \cos m x \cdot \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (m+n) x+\cos (m-n) x] \mathrm{d} x$

$$
=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (m+n) x}{m+n}+\frac{\sin (m-n) x}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0 \text {, }
$$

同理可证: 当 $n \neq m$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\pi}^\pi \cos m x \cdot \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\sin (m+n) x-\sin (m-n) x] \mathrm{d} x=0, \\
& \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cdot \sin n x \mathrm{~d} x=-\frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi[\cos (m+n) x-\cos (m-n) x] \mathrm{d} x=0 ，
\end{aligned}
$$

可得该三角函数系中的任何不同的两个函数的乘积的在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分等于零. 对一个函数系 $\left\{\varphi_n(x)\right\}$ ，若 $\int_a^b \varphi_n(x) \varphi_m(x) \mathrm{d} x=0(n \neq m)$ ，则称此函数系在 $[a, b]$ 上是正交的，因此上述三角函数系在 $[-\pi, \pi]$ 上是**正交函数系**.
注 $\int_{-\pi}^\pi 1^2 d x=2 \pi ， \int_{-\pi}^\pi \sin ^2 n x \mathrm{~d} x=\pi ， \int_{-\pi}^\pi \cos ^2 n x \mathrm{~d} x=\pi$.

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