最后更新: 2023-10-01 11:28 查看: 333 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

正弦级数与余弦级数

若 $f (x)$ 是奇函数，则

\begin{matrix} a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x = 0, \\ a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x = 0, \\ b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) \sin n x d x, n = 1, 2, \dots, \end{matrix}

傅里叶级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n x$ 称为正弦级数，即只含有正弦项的傅里叶级数；
若 $f (x)$ 是偶函数，则

\begin{matrix} a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x = \frac{2}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x, \\ a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) \cos n x d x, \\ b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x = 0, n = 1, 2, \dots, \end{matrix}

傅里叶级数 $\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 称为余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数.
例 4 将函数 $f (x) = x$ 在区间 $(- π, π)$ 内展开成傅里叶级数.
解由于 $f (x) = x$ 在 $(- π, π)$ 内是奇函数，因此

\begin{matrix} a_{n} = 0, n = 0, 1, 2, \dots, \\ b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) \sin n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x \sin n x d x = \frac{2}{π} [- {\frac{x \cos n x}{n} |}_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \frac{\cos n x}{n} d x] \\ = \frac{2}{π} [- \frac{(- 1)^{n} π}{n} + {\frac{\sin n x}{n^{2}} |}_{0}^{π}] = \frac{2}{n} (- 1)^{n + 1}, n = 1, 2, \dots, \end{matrix}

因此

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n} (- 1)^{n + 1} \sin n x, x \in (- π, π) .

设函数仅在 $[0, π]$ 上有定义，且满足收敛定理的条件，我们在 $(- π, 0)$ 内补充定义，得到 $(- π, π]$ 上的函数 $F (x)$ ，使它在 $(- π, π]$ 上成为奇函数或者偶函数，按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓或偶延拓. 事实上，可作
奇延拓: $F (x) = {\begin{array}{cc} f (x), & x \in [0, π], \\ - f (- x), & x \in (- π, 0), \end{array}$ 偶延拓: $F (x) = {\begin{array}{cc} f (x), & x \in [0, π], \\ f (- x), & x \in (- π, 0), \end{array}$
在函数的傅里叶级数展开式中，有时需将仅在 $[0, π]$ 上有定义的函数展开成正弦级数或余弦级数，则需先将定义在 $[0, π]$ 上的函数在 $(- π, 0)$ 内作奇延拓或偶延拓，然后在 $(- π, π]$ 外作周期延拓，得到其正弦级数或余弦级数，最后，限制 $x \in [0, π]$ ，得到 $f (x)$ 的正弦级数或余弦级数.
例 5 将函数 $f (x) = {\begin{cases} 0, & 0 < x < \frac{π}{2}, \\ \frac{1}{2}, & x = \frac{π}{2}, \\ 1, & \frac{π}{2} < x < π \end{cases}$ 在 $(0, π)$ 内展开成正弦级数.
解将函数 $f (x)$ 在 $(- π, 0)$ 内作奇延拓，然后在 $(- π, π]$ 外作周期延拓，使其满足收敛定理条件. 由于 $a_{n} = 0, n = 0, 1, 2, \dots$ ，

\begin{aligned} b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) \sin n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x \sin n x d x = \frac{3}{π} {[- \frac{\cos n x}{n}]}_{\frac{π}{2}}^{π} \\ = \frac{2}{π n} (\cos \frac{n π}{2} - \cos n π), n = 1, 2, \dots \end{aligned}

因此 $f (x) = \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} (\cos \frac{n π}{2} - \cos n π) \sin n x ， x \in (0, π)$ . 当 $x = \frac{π}{2}$ 时， $\frac{1}{2} [f (\frac{π^{-}}{2}) + f (\frac{π^{+}}{2})] = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2} = f (\frac{π}{2})$ .
例 6 将函数 $f (x) = x$ 在 $(0, π]$ 上展开成余弦级数.
解将函数 $f (x)$ 在 $(- π, 0]$ 上作偶延拓，然后在 $(- π, π]$ 外作周期延拓，使其满足收敛定理条件.由于 $b_{n} = 0 ， n = 1, 2, \dots ， a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x d x = π$

\begin{aligned} a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) \cos n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x \cos n x d x = \frac{2}{π} [{(\frac{x \sin n x}{n})}_{0}^{π} - \frac{1}{n} \int_{0}^{π} \sin n x d x] \\ = \frac{2}{π} [0 + {\frac{1}{n^{2}} \cos n x |}_{0}^{π}] = \frac{2}{π n^{2}} (\cos n π - 1) = \frac{2}{π n^{2}} [(- 1)^{n} - 1] \\ = {\begin{array}{cc} \frac{- 4}{π (2 k - 1)^{2}}, & n = 2 k - 1, k = 1, 2, \dots \\ 0, & n = 2 k, k = 1, 2, \dots \end{array} ， \end{aligned}

若 $f(x)$ 是奇函数，则

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \\
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0, \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

傅里叶级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ 称为正弦级数，即只含有正弦项的傅里叶级数；
若 $f(x)$ 是偶函数，则

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x, \\
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0, \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

傅里叶级数 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$ 称为余弦级数，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级 数.
例 4 将函数 $f(x)=x$ 在区间 $(-\pi, \pi)$ 内展开成傅里叶级数.
解 由于 $f(x)=x$ 在 $(-\pi, \pi)$ 内是奇函数，因此

$$
\begin{gathered}
a_n=0, \quad n=0,1,2, \cdots, \\
b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\left[-\left.\frac{x \cos n x}{n}\right|_0 ^\pi+\int_0^\pi \frac{\cos n x}{n} \mathrm{~d} x\right] \\
=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{(-1)^n \pi}{n}+\left.\frac{\sin n x}{n^2}\right|_0 ^\pi\right]=\frac{2}{n}(-1)^{n+1}, n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

因此

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin n x, \quad x \in(-\pi, \pi) .
$$

设函数仅在 $[0, \pi]$ 上有定义，且满足收敛定理的条件，我们在 $(-\pi, 0)$ 内补充 定义，得到 $(-\pi, \pi]$ 上的函数 $F(x)$ ，使它在 $(-\pi, \pi]$ 上成为奇函数或者偶函数，按 这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓或偶延拓. 事实上，可作
奇延拓: $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x), & x \in[0, \pi], \\ -f(-x), & x \in(-\pi, 0),\end{array}\right.$ 偶延拓: $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x), & x \in[0, \pi], \\ f(-x), & x \in(-\pi, 0),\end{array}\right.$
在函数的傅里叶级数展开式中，有时需将仅在 $[0, \pi]$ 上有定义的函数展开成 正弦级数或余弦级数，则需先将定义在 $[0, \pi]$ 上的函数在 $(-\pi, 0)$ 内作奇延拓或偶 延拓，然后在 $(-\pi, \pi]$ 外作周期延拓，得到其正弦级数或余弦级数， 最后，限制 $x \in[0, \pi]$ ，得到 $f(x)$ 的正弦级数或余弦级数.
例 5 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0<x<\frac{\pi}{2}, \\ \frac{1}{2}, & x=\frac{\pi}{2}, \\ 1, & \frac{\pi}{2}<x<\pi\end{array}\right.$ 在 $(0, \pi)$ 内展开成正弦级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, 0)$ 内作奇延拓，然后在 $(-\pi, \pi]$ 外作周期延拓，使其 满足收敛定理条件. 由于 $a_n=0, n=0,1,2, \cdots$ ，

$$
\begin{aligned}
& b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{3}{\pi}\left[-\frac{\cos n x}{n}\right]_{\frac{\pi}{2}}^\pi \\
& =\frac{2}{\pi n}\left(\cos \frac{n \pi}{2}-\cos n \pi\right), \quad n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

因此 $\quad f(x)=\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\cos \frac{n \pi}{2}-\cos n \pi\right) \sin n x ， x \in(0, \pi)$. 当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时， $\frac{1}{2}\left[f\left(\frac{\pi^{-}}{2}\right)+f\left(\frac{\pi^{+}}{2}\right)\right]=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
例 6 将函数 $f(x)=x$ 在 $(0, \pi]$ 上展开成余弦级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $(-\pi, 0]$ 上作偶延拓，然后在 $(-\pi, \pi]$ 外作周期延拓，使其 满足收敛定理条件.由于 $b_n=0 ， n=1,2, \cdots ， a_0=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \mathrm{~d} x=\pi$

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\left[\left(\frac{x \sin n x}{n}\right)_0^\pi-\frac{1}{n} \int_0^\pi \sin n x \mathrm{~d} x\right] \\
& =\frac{2}{\pi}\left[0+\left.\frac{1}{n^2} \cos n x\right|_0 ^\pi\right]=\frac{2}{\pi n^2}(\cos n \pi-1)=\frac{2}{\pi n^2}\left[(-1)^n-1\right] \\
& =\left\{\begin{array}{cc}
\frac{-4}{\pi(2 k-1)^2}, & n=2 k-1, k=1,2, \cdots \\
0, & n=2 k, k=1,2, \ldots
\end{array}\right. \text { ， } \\
&
\end{aligned}

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