相关系数

日期: 2023-01-03 12:47 查看: 67 次

定义2
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，如果 $\operatorname{cov}(X, Y)$ 存在，且 $D(X)>0, D(Y)>, 0$ 则称

$$
\rho(X, Y) = \frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}
$$

为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数，也记作 $\rho_{X Y}$.

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我们得到二维正态分布 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho ) \right.$ 的参数$\rho $  恰好是 $X$ 和 $Y$ 的相关系数， 反映了 $X$ 和 $Y$ 的线性关系。

定义3
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量。当 $\rho(X, Y)=$ 时，称 $X$ 与 $Y$ 线性无关或线性不相关。
定理2 当 $D(X)>0, D(Y)>0$ 时，下列 5 个命题是等价的:
(1) $\rho_{X Y}=0 ; \quad$ (2) $\operatorname{cov}(X, Y)=0 ; \quad$ (3) $E(X Y)=E(X) E(Y)$;
(4) $D(X+Y)=D(X)+D(Y) ; \quad$ (5) $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$
实际中经常会用到这个公式:

$$
D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 \rho_{X Y} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}
$$

定理3

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随机变量相互独立和线性无关都刻画了随机变量之间的关系，它们两者有什么联系与区别呢？相互独立时一定线性无关，但反之不一定成立，例如下面的例子。

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