中心极限定理

日期: 2023-01-03 13:38 查看: 58 次

例5 (高尔顿钉板实验)
如图，有一排有一个板上面有 排钉子，每排相邻的两 个钉子之间的距离均相等。上一排钉子的水平位置恰巧位 于下一排紧邻的两个钉子水平位置的正中间。从上端入口 处放入小球，在下落过程中小球碰到钉子后以相等的可能 性向左或向右偏离，碰到下一排相邻的两个钉子中的一个。 如此继续下去，直到落入底部隔板中的一格中。问当有大 量的小球从上端依次放入，任其自由下落,问小球最终在底 板中堆积的形态. 设钉子有 16 排

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首先进行分析。小球堆积的形态取决于小球最终下落在底部隔板的位置的分布。设随机变 量 $X$ 为 "小球最终下落在底部隔板中的位置" 。又引入随机变量

$$
X_i=\left\{\begin{array}{cl}
-1, & \text { 小球碰到第 } i \text { 排钉子向左下落， } \\
1 & \text { 小球碰到第 } i \text { 排钉子向右下落。 }
\end{array} i=1, \cdots, n\right.
$$

显然 $X=\sum_{i=1}^n X_i$ 和的分布计算是复杂的。有没有其他的方法呢? 经过试验我们观察发 现小球堆积形态呈现出中间高两边低的特点，能否认为 $X$ 近似服从正态分布?
定理6 (列维一林德伯格中心极限定理)
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，若 $E\left(X_i\right)=\mu ， D\left(X_i\right)=\sigma^2$ 且 $0<\sigma^2<\infty, i=1,2, \cdots, n, \cdots$ 。则对任意实数 $x$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leq x\right)=\Phi(x) .
$$

由于中心极限定理的证明需要使用其它的数学工具，因此这里不给出证明。

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定理7 (德莫弗一拉普拉斯中心极限定理)
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $X_i \sim  B\left(1, p_i\right) \quad i=1,2, \cdots$ 则对任何实数 $x$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n p}{\sqrt{n p(1-p)}} \leq x\right)=\Phi(x)
$$

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