最后更新: 2025-01-01 21:50 查看: 502 次反馈刷题

矩阵的初等变换与矩阵等价

## 矩阵初等变换的意义
### 求解方程组
求解线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1+x_2=3 \\
x_1-x_2+x_3=4 \\
2 x_1+x_2-x_3=-1
\end{array}\right.
$$

解：线性方程组
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
2 x_1+x_2=3, \\
x_1-x_2+x_3=4, \\
2 x_1+x_2-x_3=-1
\end{array}\right. \\
& \text { 对应的增广矩阵 } \\
& \left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & 3 \\
1 & -1 & 1 & 4 \\
2 & 1 & -1 & -1
\end{array}\right) \\
&
\end{aligned}
$$

提示：增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

下图中，通过方程的变形来理解矩阵的初等变换。
![图片](/uploads/2023-01/image_202301020f31ac4.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010244ff264.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102794e103.png)
上面解方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换:
(1) 交换两个方程;
(2) 一个方程乘上一个非零数；
(3) 一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上.

## 矩阵的初等变换

从上例看到，对方程组实施上面三种变换，等价于对方程组的增广矩阵的行实施了类似地三种变换，而这种变换并不改变矩阵本身的性质。
这三种初等变换是
(1) 交换矩阵的某两行，我们用 $r_i \leftrightarrow r_j$ 表示交换矩阵的第 $i 、 j$ 两行；

(2)矩阵的某一行乘以非零数，用 $k r_i$ 表示矩阵的第 $i$ 行元素乘以非零数 $k$;

(3)将矩阵的某一行的k倍加到另一行，用 $r_j+k r_i$ 表示将矩阵第 $i$行的 $k$ 倍加到第 $j$ 行.

> 对矩阵 $A$ 施行某种初等行变换，相当于用相应的行初等矩阵左乘矩阵 $A$ 。
对矩阵 $A$ 施行某种初等列变换，相当于用相应的列初等矩阵右乘矩阵 $A$ 。

## 矩阵等价
若矩阵 $A$ 经过有限次初等行 (列) 变换化为矩阵 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行 (列) 等价；若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为矩阵 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价.
我们用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 行等价，用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 列等价，用 $A \sim B$ 表示矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价.
注: 矩阵间的行 (列) 等价以及矩阵间的等价是一个等价关系， 即满足:
1 自反性：任意矩阵 $A$ 与自身等价；
2 对称性: 若矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价, 则矩阵 $B$ 与矩阵 $A$ 等价；
3 传递性: 若矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价，矩阵 $B$ 与矩阵 $C$ 等价, 则矩阵 $A$ 与矩阵 $C$ 等价.

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