最后更新: 2024-10-24 07:58 查看: 420 次反馈刷题

矩阵等价

## 矩阵的等价
矩阵的等价来源于“同解方程组”，请看下面两个方程
$$
\begin{cases}
x+y=4 \\
2x-y=-1
\end{cases} ...(1)
$$

和

$$
\begin{cases}
x+2y=7 \\
x-y=-2
\end{cases} ...(2)
$$

虽然这是两个完全不同的方程，但是他们的**解是一样都是**，即他们的解都是

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=3
\end{cases} ...(3)
$$

如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来[参见](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)，令

$$
\boldsymbol{ A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}
4 \\
-1  
\end{array}\right)  
$$

则第一个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{AX=B ...(4)}
$$
,令
$$
\boldsymbol{ Q}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
7 \\
-2  
\end{array}\right)

则第二个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{QX=P ...(5)}
$$

> 还记得初中学过的代数式吗？假如 $ax=b$ 和 $qx=p$，解第一个式子中的$x=\frac{b}{a}=a^{-1}b$,然后带入第二个式子$qa^{-1}b=p$即$p=qa^{-1}b$, 如果$a \ne 0$,再令$a^{-1}=t$,就得到 $p=qtb$，即我们可以说 $p \sim t$

同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同，我们有理由相信，(4)中的$X$可以带入(5)，带入后应该是

$QA^{-1}B=P$

如果$A$可逆，可以把$A^{-1}$命名为$T$,带入上式就是
$QTB=P$

我们知道，这里的$T$就是一个矩阵的名字，上式等号左右调换一下即
$$
P=QTB
$$
我们给他一个名字：称矩阵$P$和矩阵$T$是等价的。

这里我们可以从向量的角度捋一捋矩阵的等价。
从(3)可以看出，
在$A$基坐标系里看向量$X$，他的坐标值是
$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}
4 \\
-1  
\end{array}\right)
$$
而到了$B$坐标系里看向量$X$，他的坐标值是
$$
\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
7 \\
-2  
\end{array}\right) 
$$

**向量还是是同一个向量$X$，如果坐标系变了(由A坐标系变为Q坐标系)，其坐标值也会变（由B坐标值变为P坐标值）。**

因此，两个矩阵等价，最基本的意思就是：更改观看的视角。
比如，要给一头猪拍照，可以正面拍，侧面怕，上面拍、下面拍，选择的视角不同，拍出的照片也会不同，但是不论怎么拍，最根本的物体没有变，猪还是那头猪，不能从正面拍是一头猪，侧面拍就变成一头牛了。如果更抽象一些，若$A$和$B$矩阵等价，但是$A$比较复杂而$B$比较简单，那么我们通过研究$B$的性质，就可以推导出$A$的性质，这是矩阵等价的作用，比如他们有相同的特征值与特征向量，有相同的矩阵的秩等。

在本站附录里介绍了[矩阵的等价、合同和相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772) 得意义

## 矩阵的等价的定义
若有$A$和$B$两个矩阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $B=P A Q$ 则称$A$和$B$等价。

### 矩阵等价的性质

等价矩阵的性质包括：
1.反身性：矩阵A与自身等价，即A = A。
2.对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。
3.传递性：若矩阵A与B等价，且B与C等价，则A与C等价。
4.行列式相等：若矩阵A与B等价，则它们的行列式相等，即det(A) = det(B)。
5.相同秩：等价矩阵具有相同的秩，即rank(A) = rank(B)。
6.相同特征值：等价矩阵具有相同的特征值。
7.相同特征向量：等价矩阵具有相同的特征向量。
8.可逆性：若矩阵A是可逆的，则与其等价的所有矩阵也是可逆的。
9.初等变换：矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换，从而保持它们的等价性。
10.标准型：每个矩阵可以通过初等变换转换为一个唯一的标准形式（阶梯形、三角形或对角线矩阵）。
11.矩阵等价的定义：如果存在可逆矩阵P和Q，使得B=PAQ，则A与B等价，其中P和Q分别是n×n和m×m阶的可逆矩阵。

正如上面方程的解C最终化为对角矩阵一样，如果进行使用矩阵的初等变换，则解可以变成E单位阵
$$
\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1  
\end{array}\right) .
$$

## 初等矩阵
对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的矩阵称为 $n$ 阶初等矩阵. 根据上面性质9，矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换，从而保持它们的等价性。

`例` 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个三阶方阵，试求一个 3 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$$
\boldsymbol{P A}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+k a_{11} & a_{32}+k a_{12} & a_{33}+k a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right) .
$$

解：矩阵 $P A$ 可看成是先对矩阵 $A=\left(a_v\right)$ 实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换，
再实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 2 行的变换所得到的.
这相当于先后用初等矩阵 $E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) 、 E((k), 2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，即 $P A=E(1(k), 2) E(2,3) A ，$
所以

$$
P=E(1(k), 2) E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
k & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
k & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$

另外，矩阵 $P A$ 也可看成是先对矩阵 $A=\left(a_j\right)$ 实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 3 行的变换，再实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换所得到的.
即 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{E}(2,3) \boldsymbol{E}(1(k), 3) \boldsymbol{A}$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：求解线性方程组

下一篇：初等矩阵与逆矩阵的应用

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)