最后更新: 2023-10-01 11:28 查看: 522 次反馈同步训练

初等矩阵与逆矩阵的应用

定理 1 下面命题互相等价:
1 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆；
2 方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ；
(3) 方阵 $A$ 可表为一些初等方阵的乘积.
证明 为了证明的方便，我们采取 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$ 的方式来证明.

(1) $\Rightarrow(2):$
方阵 $A$ 经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵 $R$.
这相当于存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s ，$ 使得 $P_s \cdots P_2 P_1 A=R$.
由于初等矩阵都可逆，若 $A$ 可逆，则 $P_z \cdots P_2 P_1 A=R$ 可逆，从而行最简形矩阵 $R$ 没有全零行，
这迫使 $R=E$ ，即 $P_s \cdots P_2 P_1 A=E$ ，
所以方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$.

(2) $\Rightarrow(3)$ :
若方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ，则存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_z$ ，使得 $P_2 \cdots P_2 P_1 A=E$.
由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵，记 $P_1, P_2, \cdots, P_{:}$的逆矩阵分别为 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_2^{-1}$ ，
于是 $\quad P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\left(P_s \cdots P_2 P_1 A\right)=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1} E$,
即 $A=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_{:}^{-1}$. 也就是说， $A$ 可表为初等方阵 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_{:}^{-1}$ 的乘积.

(3) $\Rightarrow$ (1):
设方阵 $A=P_1 P_2 \cdots P_z$ ，其中 $P_1, P_2, \cdots, P_1$ 均为初等矩阵，由于初等矩阵均可逆，
于是它们的乘积 $A=P_1 P_2 \cdots P_s$ 也可逆.

由定理 1 的证明可知，
若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则存在一个可逆阵 $P=P_2 \cdots P_2 P_1$ ，使得 $P A=E$.
于是， $\quad A^{-1}=\left(P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\right)^{-1}=P_s \cdots P_2 P_1=P$.
构造一个分块矩阵 $(A \mid E)$ ， 做分块矩阵的乘法:

$$
P(A \mid E)=(P A \mid P E)=(E \mid P)=\left(E \mid A^{-1}\right),
$$

上式等价于对分块矩阵 $(A \mid E)$ 实施了若干次初等行变换，当

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