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线性代数
第二篇 矩阵
初等矩阵与逆矩阵的应用
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更新:
2023-10-01 11:28
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初等矩阵与逆矩阵的应用
定理 1 下面命题互相等价: 1 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆; 2 方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ; (3) 方阵 $A$ 可表为一些初等方阵的乘积. 证明 为了证明的方便,我们采取 (1) $\Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$ 的方式来证明. (1) $\Rightarrow(2):$ 方阵 $A$ 经过若干次初等行变换可化为行最简形矩阵 $R$. 这相当于存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_s ,$ 使得 $P_s \cdots P_2 P_1 A=R$. 由于初等矩阵都可逆,若 $A$ 可逆,则 $P_z \cdots P_2 P_1 A=R$ 可逆,从而行最简形矩阵 $R$ 没有全零行, 这迫使 $R=E$ ,即 $P_s \cdots P_2 P_1 A=E$ , 所以方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$. (2) $\Rightarrow(3)$ : 若方阵 $A$ 行等价于 $n$ 阶单位矩阵 $E$ ,则存在若干个初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_z$ ,使得 $P_2 \cdots P_2 P_1 A=E$. 由于初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍为初等矩阵,记 $P_1, P_2, \cdots, P_{:}$的逆矩阵分别为 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_2^{-1}$ , 于是 $\quad P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\left(P_s \cdots P_2 P_1 A\right)=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1} E$, 即 $A=P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_{:}^{-1}$. 也就是说, $A$ 可表为初等方阵 $P_1^{-1}, P_2^{-1}, \cdots, P_{:}^{-1}$ 的乘积. (3) $\Rightarrow$ (1): 设方阵 $A=P_1 P_2 \cdots P_z$ ,其中 $P_1, P_2, \cdots, P_1$ 均为初等矩阵,由于初等矩阵均可逆, 于是它们的乘积 $A=P_1 P_2 \cdots P_s$ 也可逆. 由定理 1 的证明可知, 若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆,则存在一个可逆阵 $P=P_2 \cdots P_2 P_1$ ,使得 $P A=E$. 于是, $\quad A^{-1}=\left(P_1^{-1} P_2^{-1} \ldots P_s^{-1}\right)^{-1}=P_s \cdots P_2 P_1=P$. 构造一个分块矩阵 $(A \mid E)$ , 做分块矩阵的乘法: $$ P(A \mid E)=(P A \mid P E)=(E \mid P)=\left(E \mid A^{-1}\right), $$ 上式等价于对分块矩阵 $(A \mid E)$ 实施了若干次初等行变换,当 $A$ 变成 $E$ 时, $E$ 就变成了 $A^{-1}$. 判别矩阵 $A$ 是否可逆,并在可逆时求 $A^{-1}$ 的具体步骤为: 01 首先构造分块矩阵 $(A \mid E)$ 02 对矩阵 $(A \mid E)$ 实施初等行变换,将 $(A \mid E)$ 化为行最简形矩阵; 03 如果 $A$ 不能行等价于 $E$ ,则矩阵 $A$ 不可逆;若 $A$ 能行等价于 $E$ ,则 $\boldsymbol{A}$ 可逆,且 $\boldsymbol{E}$ 就行等价于 $\boldsymbol{A}^{-1}$.    利用逆矩阵还可以求解矩阵方程 $A X=B 、 X A=B$ 和 $A X B=C$. 若矩阵 $A$ 可逆,则有 $$ A^{-1}(A X)=A^{-1} B \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X=A^{-1} B \Rightarrow X=A^{-1} B . $$ $$ (\mathrm{X} A) A^{-1}=B A^{-1} \Rightarrow X\left(A A^{-1}\right)=B A^{-1} \Rightarrow X=B A^{-1} . $$ 若矩阵 $A 、 B$ 可逆均可逆,则有 $$ A^{-1}(A X B) B^{-1}=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow\left(A^{-1} A\right) X\left(B B^{-1}\right)=A^{-1} C B^{-1} \Rightarrow X=A^{-1} C B^{-1} . $$ 也可以用初等行变换的方法解矩阵方程.    
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