最后更新: 2025-03-06 08:51 查看: 487 次反馈刷题

向量的概念及运算

有了行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人翁---向量出场了. **向量作为现代数学的基础，深深的渗透数学的各种学科**，要了解平面向量，可以参考[高中平面向量教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)

## 向量的基本概念
我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。
 既有大小又有方向的量我们称为**向量** （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“**标量**”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。
对应向量的大小也称为向量的**模** （也可以叫向量长度）；

> 对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做**矢量**，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$.
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

我们知道, 位移可以用带箭头的线段 (即有向线段) 来直观地表示. 类似地, 我们也用有向线段来直观地表示向量, 其中有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的**始点** (或起点), 带箭头的端点称为向量的**终点**.

### 向量的表示
有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

### 相反向量
向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$.
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

### 零向量
始点和终点相同的向量称为**零向量**. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯数字零表示, 即 $\mathbf{0}$ ; 书写时, 通常用带箭头的阿拉伯数字零表示, 即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出, 零向量的模为 0 , 即

$$
|\mathbf{0}|=0 .
$$

零向量本质上是一个点, 因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.

### 单位向量
模等于 1 的向量称为**单位向量**. 这就是说, 如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量, 则

$$
|e|=1 ;
$$

反之也成立. 因此, $e$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量叫做向量 $\vec{a}$ 的单位向量, 记作 $\vec{e}$. 根据实数与向量的乘法的定义, 可知 $\vec{a}=|\vec{a}| \vec{e}$, 即

$$
\boxed{
\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} .
}
$$
这是一个重要的公式，在《线性代数》里，会用到

`例`三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。
解：该其模长为
$D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

如果我们把向量$\boldsymbol{a}$ 放在三维空间里（参考下图），为了方便理解，这里加了一个立方体，你就可以看到，所谓$\boldsymbol{a}$的模，就是向量$OP$的长度。
自$P$点往$xoy$平面进行投影，投影点为$H$，连接$OH$，所以$\triangle OPH$ 是直角三角形。
在$Rt \triangle OPH$  里，可以得到 $OP$与$xoy$的夹角余弦值，即
$\cos\angle POH= \dfrac{OH}{OP}$ 
![图片](/uploads/2025-03/9740e9.jpg){width=400px}

假设$P(x,y,z)$ ，那么 $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
而$OH$又在$xoy$平面，所以，$OH=\sqrt{x^2+y^2}$
因此，
$$
\boxed{
\cos\angle POH= \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
}
$$

这就是向量和平面的夹角余弦公式，换句话说，人给一个向量$a$,都可以求出他与三个坐标平面的夹角。

## 向量的相等与平行

### 向量相等
把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等, 记作

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} .
$$

### 向量平行
如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个**向量平行**.
![](/uploads/2022-10/ee7574.jpg){width=250px}

### 零向量
因为零向量的方向不确定, 所以通常规定**零向量与任意向量平行**. 
我们约定，**所有的零向量相等**。

### 向量共线
两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行, 记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.

## 向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。
![](/uploads/2022-10/e82ed0.jpg){width=250px}
另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![](/uploads/2022-10/8f0d5a.jpg){width=250px}

事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

在使用向量平行四边形法则时，一个常见的问题是为什么定义 $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ 而不是直接相加，我们认为不管是向量的平行四边形法则还是后面介绍的向量点乘都是来自生活实践的抽象，他不是来自数学严格的推导证明，比如两个力$F_1=3N$和$F_2=5N$,生活实践告诉我们，如果他们之间有夹角，不能认为合力为$F=3+5=8N$，因此两个向量相加不能采用向量模相加模式。

向量加法满足交换律和结合律，即：

(1) 数乘 $x(y\boldsymbol{a})=xy\boldsymbol{a}$ (后述)
(1) 加法交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ 对任意两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 成立.
(2) 加法结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 对任意三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成立.

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

![](/uploads/2022-10/386bed.jpg){width=250px}

## 向量加减的区别
在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。当给你一个向量三角形时，如何迅速判断他是向量加法还是减法呢？请看下面介绍。

#### 向量加法
下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。
记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。
 ![图片](/uploads/2024-12/bc3e8f.jpg)

#### 向量减法
下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$
 ![图片](/uploads/2024-12/9160f7.jpg)

### 记忆技巧
海曼 • 格拉斯曼是德国的几何学家，他 1844 年发表的《延拓论》创立了现今的 $n$ 维几何学。格拉斯曼在构建 $n$ 维几何代数理论时是以一个非常简单的公式 $A B+B C=A C$ (见图 2-15（a））作为研究起点的。他发现，上面介绍的三角形法则，如果不考虑线段点 $A 、 B 、 C$ 的顺序, 只要不把 $A B$ 、 $B C$ 这样的因子仅仅理解为长度, 并且赋予它们 "方向" (例如 $B A=-A B$ ), 公式依然正确。举个例子: 如果 $C$ 位于 $A$ 和 $B$ 之间（见图 2-15 (b)），那么 $A B=A C+C B$ ，但是由于 $C B=-B C$ ，我们将发现 $A B=A C-B C$ 。此时只要在这个公式两边简单地加上 $B C$ 就能得到最初的公式 $A B+B C=A C$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/d09f3b.jpg)

也就是说图 2-15 的两个图例都有 $A B+B C=A C$ 成立。
把图 2-15 的两根直线中间的 $B$ 点和 $C$ 点各自向上**拉伸**一些距离, 等式 $A B+B C=A C$ 依然成立 (见图 2-16), 我们刚刚知道这就是向量的三角形加法法则。
 ![图片](/uploads/2024-12/0d9f48.jpg)

继续向空间中拉伸就是三维向量乃至 $n$ 维向量的加法了, 等式同样成立。
这是一个非常有价值的发现。但格拉斯曼对向量的延伸和拓展更加让人吃惊, 他拓展到向量的外积运算。比如, 如图 2-17 所示的正方形或平行四边形 $A B C D$, 如果正方形或平行四边形的面积 $S_{A B C D}=A B \cdot A D$, 那么就有 $A B \cdot D A=-S_{A B C D}$ 成立。这正是后面将要介绍的向量的外积（叉积）运算及其几何意义。格拉斯曼由此最终发明了一种全新的被称之为外积代数的几何理论。
 ![图片](/uploads/2024-12/1a0915.jpg)

因此，对于向量减法的三角形法则，可以考虑特殊情况：即 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向

![图片](/uploads/2023-01/631f83.jpg){width=200px}

## 向量的数乘
一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\text { 当 } \lambda>0 \text { 时, 与 } a \text { 同向, } \\
\text { 当 } \lambda<0 \text { 时, 与 } a \text { 反向; }
\end{array}\right.
$$

(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$.
上述实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 相乘的运算简称为数乘向量. 由定义不难看出, 数乘向量的结果是一个向量, 而且这个向量与原来的向量共线 (平行), 即 $\lambda a / /$ $a$; 数乘向量的几何意义是, 把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 特别地, 一个向量的相反向量可以看成 -1 与这个向量的乘积, 即 $-\boldsymbol{a}=(-1) \boldsymbol{a}$.

当 $\lambda$ 和 $\mu$ 都是实数, 且 $a$ 是向量时: $\mu a$ 是向量, $\lambda(\mu a)$ 也是向量; $\lambda \mu$是实数, 但 $(\lambda \mu) a$ 是向量. 可以看出

$$
\lambda(\mu a)=(\lambda \mu) a
$$

另外，也可以证明

$$
(\lambda+\mu) a= \lambda  a + \mu a
$$
和 
$$
\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$
$$

我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为**向量的线性运算**。

## 二维向量(平面向量)
我们已经在[高中平面向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=755)里学过. 在一个平面上, 给点一个坐标点$(a,b)$ 连接原点和坐标点，形成一个又向箭头，这样就形成二维平面向量。

![图片](/uploads/2024-09/f98760.jpg){width=300px}

## 三维向量(空间向量)
我们在[高中空间向量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=170) 也学过, 给定空间一个坐标点$(a,b,c)$，如下图，用一个又向箭头连接坐标原点和空间坐标点，将形成一个空间向量。
 ![图片](/uploads/2025-01/34c958.jpg){width=300px}

## n维向量 
由二维和三维的概念，我们自然可以推广到$n$维，即 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组称为 $n$ 维向量.

若 $n$ 维向量写成 $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的形式，称为 $n$ 维**列向量**；

若 $n$ 维向量写成 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 的形式，称为 $n$ 维**行向量**.

这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，其中 $a_i$ 称为第 $i$ 个**分量**.

分量都是零的向量称为零向量，记为$\boldsymbol{0}$ 。

我们常用 $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ 来表示 $n$ 维列向量，而用 $\alpha^{\top}, \beta^{\top}, \gamma^{\top}, \ldots$ 来表示 $n$ 维行向量.

向量 $\left(\begin{array}{c}-a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n\end{array}\right)$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的负向量，记为 $-\boldsymbol{\alpha}$.

如下图 $OA$是由$(2,2)$组成的2维向量，而$OB$则是由$(1,4)$组成的另一个2维向量。

![图片](/uploads/2024-09/deb4f2.jpg){width=350px}

再如下图$OP$是由$(2,2,3)$组成的3维向量。

![图片](/uploads/2024-09/0439e6.jpg){width=300px}
 
 
## 矩阵分解为行向量或列向量
有了向量以后，我们就可以从向量的角度看待矩阵。下面是一个$4 \times 3$得矩阵：
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3\\
6 & 7 & 9 \\ 
2 & 4 & 6 \\ 
9 & 7 & 1
\end{array}\right)
$$
可以把他看成是4个行向量组成的矩阵（当然也可以看成3个列向量），即
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_2=\left(\begin{array}{lll}
6 & 7 & 9
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_3=\left(\begin{array}{lll}
2 & 4 & 6
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_4=\left(\begin{array}{lll}
9 & 7 & 1
\end{array}\right)
$$

如果仔细看上面4个行向量，可以发现他们之间存在某种联系。
比如, 上面行向量里 $\alpha_3=2 \alpha_1$, 这个$\alpha_3$向量可以由 $\alpha_1$ 这个向量的 2 倍来表示,于是 $\alpha_3$ 这个向量就是 “**多余**”的,不是独立的信息.
如果用$G$表示$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 组成的集合，这个集合被称为**向量组**，在这个向量组$G$里，$\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 只要一个就可以了。比如要$\alpha_1$，那么向量组里的$\alpha_3$就可以用$2 \alpha_1$来代替。

这种联系说到底就是线性无关的向量个数的问题,也就是若干个向量组成的向量组中,其中某几个就足够代表这个向量组了,其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来(后面会详细叙述).

## 极大线性无关组
在一个向量组中, 能够代表该向量组中所有成员的一组向量被称为极大线性无关组,比如上面这个向量组$G$可以用

$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_2=\left(\begin{array}{lll}
6 & 7 & 9
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_4=\left(\begin{array}{lll}
9 & 7 & 1
\end{array}\right)
$$
这$3$个向量组表示。把它们组成的向量组叫作原向量组的极大线性无关组, 这个组就是原向量组的“代表”.

当然如果你使用

$$
\alpha_2=\left(\begin{array}{lll}
6 & 7 & 9
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_3=\left(\begin{array}{lll}
2 & 4 & 6
\end{array}\right)
$$

$$
\alpha_4=\left(\begin{array}{lll}
9 & 7 & 1
\end{array}\right)
$$
作为极大线性无关组也是可以的。最主要的是，虽然他们形式不同，但是他们数量不变，都是$3$个。这个数字被称为**向量组的秩**。

极大线性无关组是向量组的“代表”, 而矩阵就是由向量组拼成的, 所以矩阵的秩、向量组的秩都反映了“代表”中向量的个数, 本质完全相同.

读者研读完这一部分就会得出下面这个重要结论:

**我们要搞清楚向量与向量之间的关系---这种关系要么线性无关 (“独立”), 要么线性相关 (“多余”).**  在充斥着诸多抽象理论和方法的向量组问题上, 只有把握住上述重要结论, 才不会迷失方向.

## 向量的运算
  向量的运算性质
  
  设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right), \boldsymbol{k} \in \mathbf{R}$ ，则有

$$
\text { (1) } \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
a_1+b_1 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \text {; }
$$

$$
\text { (2) } k \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
k a_1 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \text {; }
$$

$$
\text { (3) } \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n
$$

$$
(4) \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n
\end{array}\right) .
$$

## 向量运算举例

`例` 向量加法
$$
\left[\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
3 \\
4
\end{array}\right]
$$ 
对应分量分别相加。

向量相加符合平行四边形法则。
 ![图片](/uploads/2024-11/e877b4.jpg){width=300px}
 
 
 `例`向量数乘
 
 $$
 3\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
6 \\
3
\end{array}\right]
$$
向量数乘反映向量的放大或者缩小。
 ![图片](/uploads/2024-11/81c8bb.jpg){width=300px}

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