最后更新: 2025-03-06 08:51 查看: 579 次反馈同步训练

向量的概念及运算

有了行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人翁---向量出场了. **向量作为现代数学的基础，深深的渗透数学的各种学科**，要了解平面向量，可以参考[高中平面向量教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)

## 向量的基本概念
我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。
 既有大小又有方向的量我们称为**向量** （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“**标量**”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。
对应向量的大小也称为向量的**模** （也可以叫向量长度）；

> 对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做**矢量**，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$.
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

我们知道, 位移可以用带箭头的线段 (即有向线段) 来直观地表示. 类似地, 我们也用有向线段来直观地表示向量, 其中有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的**始点** (或起点), 带箭头的端点称为向量的**终点**.

### 向量的表示
有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

### 相反向量
向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$.
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

### 零向量
始点和终点相同的向量称为**零向量**. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯数字零表示, 即 $\mathbf{0}$ ; 书写时, 通常用带箭头的阿拉伯数字零表示, 即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出, 零向量的模为 0 , 即

$$
|\mathbf{0}|=0 .
$$

零向量本质上是一个点, 因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.

### 单位向量
模等于 1 的向量称为**单位向量**. 这就是说, 如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量, 则

$$
|e|=1 ;
$$

反之也成立. 因此, $e$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量叫做向量 $\vec{a}$ 的单位向量, 记作 $\vec{e}$. 根据实数与向量的乘法的定义, 可知 $\vec{a}=|\vec{a}| \vec{e}$, 即

$$
\boxed{
\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} .
}
$$
这是一个重要的公式，在《线性代数》里，会用到

`例`三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。
解：该其模长为
$D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

如果我们把向量$\boldsymbol{a}$ 放在三维空间里（参考下图），为了方便理解，这里加了一个立方体，你就可以看到，所谓$\boldsymbol{a}$的模，就是向量$OP$的长度。
自$P$点往$xoy$平面进行投影，投影点为$H$，连接$OH$，所以$\triangle OPH$ 是直角三角形。
在$Rt \triangle OPH$  里，可以得到 $OP$与$xoy$的夹角余弦值，即
$\cos\angle POH= \dfrac{OH}{OP}$ 
![图片](/uploads/2025-03/9740e9.jpg){width=400px}

假设$P(x,y,z)$ ，那么 $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$。
而$OH$又在$xoy$平面，所以，$OH=\sqrt{x^2+y^2}$
因此，
$$
\boxed{
\cos\angle POH= \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
}
$$

这就是向量和平面的夹角余弦公式，换句话说，人给一个向量$a$,都可以求出他与三个坐标平面的夹角。

## 向量的相等与平行

### 向量相等
把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等, 记作

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} .
$$

### 向量平行
如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个**向量平行**.
![](/uploads/2022-10/ee7574.jpg){width=250px}

### 零向量
因为零向量的方向不确定, 所以通常规定**零向量与任意向量平行**. 
我们约定，**所有的零向量相等**。

### 向量共线
两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行, 记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.

## 向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。
![](/uploads/2022-10/e82ed0.jpg){width=250px}
另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![](/uploads/2022-10/8f0d5a.jpg){width=250px}

事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

在使用向量平行四边形法则时，一个常见的问题是为什么定义 $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ 而不是直接相加，我们认为不管是向量的平行四边形法则还是后面介绍的向量点乘都是来自生活实践的抽象，他不是来自数学严格的推导证明，比如两个力$F_1=3N$和$F_2=5N$,生活实践告诉我们，如果他们之间有夹角，不能认为合力为$F=3+5=8N$，因此两个向量相加不能采用向量模相加模式。

向量加法满足交换律和结合律，即：

(1) 数乘 $x(y\boldsymbol{a})=xy\boldsymbol{a}$ (后述)
(1) 加法交换律: $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ 对任意两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 成立.
(2) 加法结合律: $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ 对任意三个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成立.

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

![](/uploads/2022-10/386bed.jpg){width=250px}

## 向量加减的区别
在使用三角形法则时，容易搞混向量是加法还是减法，这里给出一个小技巧。当给你一个向量三角形时，如何迅速判断他是向量加法还是减法呢？请看下面介绍。

#### 向量加法
下图 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ 里，三个向量以a的起点为起点，以b的终点为终点，最终是由a指向 $\mathrm{b}$ 。
记忆方法：小明从家到北京，再从北京到上海，那么最终小明走的结果就是从家到上海（也就是从起点指向终点，与中间环节无关）。
 ![图片](/uploads/2024-12/bc3e8f.jpg)

#### 向量减法
下图 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$ 里，理解为以 ${b}$ 的终点为始点，以 ${a}$ 的终点为终点的向量，方向由b指向 $\mathrm{a}$
 ![图片](/uploads/2024-12/9160f7.jpg)

### 记忆技巧
海曼 • 格拉斯曼是德国的几何学家，他 1844 年发表的《延拓论》创立了现今的 $n$ 维几何学。格拉斯曼在构建 $n$ 维几何代数理论时是以一个非常简单的公式 $A B+B C=A C$ (见图 2-15（a））作为研究起点的。他发现，上面介绍的三角形法则，如果不考虑线段点 $A 、 B 、 C$ 的顺序, 只要不把 $A B$ 、 $B C$ 这样的因子仅仅理解为长度, 并且赋予它们 "方向" (例如 $B A=-A B$ ), 公式依然正确。举个例子: 如果 $C$ 位于 $A$ 和 $B$ 之间（见图 2-15 (b)），那么 $A B=A C+C B$ ，但是由于 $C B=-B C$ ，我们将发现 $A B=A C-B C$ 。此时只要在这个公式两边简单地加上 $B C$ 就能得到最初的公式 $A B+B C=A C$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/d09f3b.jpg)

也就是说图 2-15 的两个图例都有 $A B+B C=A C$ 成立。
把图 2-15 的两根直线中间的 $B$ 点和 $C$ 点各自向上**拉伸**一些距离, 等式 $A B+B C=A C$ 依然成立 (见图 2-16), 我们刚刚知道这就是向量的三角形加法法则。
 ![图片](/uploads/2024-12/0d9f48.jpg)

继续向空间中拉伸就是三维向量乃至 $n$ 维向量的加法了, 等式同样成立。
这是一个非常有价值的发现。但格拉斯曼对向量的延伸和拓展更加让人吃惊, 他拓展到向量的外积运算。比如, 如图 2-17 所示的正方形或平行四边形 $A B C D$, 如果正方形或平行四边形的面积 $S_{A B C D}=A B \cdot A D$, 那么就有 $A B \cdot D A=-S_{A B C D}$ 成立。这正是后面将要介绍的向量的外积（叉积）运算及其几何意义。格拉斯曼由此最终发明了一种全新的被称之为外积代数的几何理论。
 ![图片](/uploads/2024-12/1a0915.jpg)

因此，对于向量减法的三角形法则，可以考虑特殊情况：即 $a,b$ 共线的情况：如下图 黑色$a$减去红色$b$，等于黄色 $a-b$ ,箭头指向$a$的方向

![图片](/uploads/2023-01/631f83.jpg){width=200px}

## 向量的数乘
一般地, 给定一个实数 $\lambda$ 与任意一个向量 $a$, 规定它们的乘积是一个向量, 记作 $\lambda a$, 其中:
(1) 当 $\lambda \neq 0$ 且 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}$ 的模为 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$, 而且 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向如下:

$$
\left\{\begin{array}{l}
\text { 当 } \lambda>0 \text { 时, 与 } a \text { 同向, } \\
\text { 当 } \lambda<0 \text { 时, 与 } a \text { 反向; }
\end{array}\right.
$$

(2) 当 $\lambda=0$ 或 $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ 时, $\lambda \boldsymbol{a}=\mathbf

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：没有了

下一篇：集合论与向量空间

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)