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置信区间
日期:
2023-01-03 14:34
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设 $\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $f(x, \theta)$ 的样本,其中参数 $\theta \in \Theta$ 末知,对给定 的 $0<\alpha<1$ ,若存在统计量 $\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$, 使得 $$ P\left(\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta \leq \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right) \geq 1-\alpha $$ 那么称随机区间 $\left[\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right), \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间; 称 $1-\alpha$ 为 置信水平; 称 $\underline{\theta}$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的下限; 称 $\bar{\theta}$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的上限, 简称双侧置信下限或者上限. 抽样以后就得到置信区间的观测值: $$ \left[\underline{\theta}\left(x_1, \cdots, x_n\right), \bar{\theta}\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right] $$     定义2 若有统计量 $\bar{\theta}=\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ,使得 $P_\theta(\theta \leq \bar{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left(-\infty, \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间, $\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信上限. 定义3 若有统计量 $\underline{\theta}=\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ,使得 $P_\theta(\theta \geq \underline{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left[\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right),+\infty\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间, $\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信下限. 
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2023-01-03 14:34
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