置信区间

日期: 2023-01-03 14:34 查看: 50 次

设 $\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $f(x, \theta)$ 的样本，其中参数 $\theta \in \Theta$ 末知，对给定 的 $0<\alpha<1$ ，若存在统计量 $\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$, 使得

$$
P\left(\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta \leq \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right) \geq 1-\alpha
$$

那么称随机区间 $\left[\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right), \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间; 称 $1-\alpha$ 为 置信水平;
称 $\underline{\theta}$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的下限; 称 $\bar{\theta}$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的上限， 简称双侧置信下限或者上限.
抽样以后就得到置信区间的观测值:

$$
\left[\underline{\theta}\left(x_1, \cdots, x_n\right), \bar{\theta}\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right]
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010373a4367.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103db4e0a7.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010397b2361.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301038a13cc9.png)

定义2
若有统计量 $\bar{\theta}=\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ，使得 $P_\theta(\theta \leq \bar{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left(-\infty, \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间， $\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信上限.

定义3
若有统计量 $\underline{\theta}=\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ，使得 $P_\theta(\theta \geq \underline{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left[\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right),+\infty\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间， $\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信下限.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103679d1a9.png)

本系统使用启明星知识库Kbase搭建，最后更新于2023-01-03 14:34 ，如果您有意见或建议请点击反馈。